Екситон Френкеля

Екситон Френкеля або екситон малого радіуса — електронне збудження в кристалі, що не переносить електричного струму, граничний випадок екситона. Електрон та дірка, що складають екситон Френкеля, належать одному вузлу або сусіднім вузлам кристаличної ґратки, таким чином, радіус екситона становить величину того ж порядку, що й період ґратки.

Екситони Френкеля характерні для молекулярних кристалів, органічні молекули яких слабо взаємодіють між собою в основному стані й доволі сильно в збудженому. Цим забезпечується можливість вільної міграції збудження від однієї молекули до іншої.

Екситонами Френкеля є також збудження кріокристалів.

Зазвичай екситони Френкеля формують вузьку екситонну зону й мають доволі значну ефективну масу.

Названий на честь радянського фізика Якова Ілліча Френкеля.

Теорія

Нехай молекули в кристалі розташовані періодично, і кожну з них можна описати як дворівневу систему з основним і збудженим станом, хвильові функції яких ${\varphi }^0$ та ${\varphi }^1$, відповідно. Гамільтоніан кристалу має вигляд

$\hat{H}=\sum _n{\hat{H}}_n^0+\frac{1}{2}\sum _{n,m}{\hat{V}}_{n,m}$,

де ${\hat{H}}_n^0$ - гамільтоніан окремої молекули, розташованої в n-му вузлі ґратки.

Хвильову функцію системи шукають у вигляді

${\psi }_{𝐤}=\sum _{𝐧}{e}^{i𝐤\cdot 𝐧}{\psi }_{𝐧}=\sum _{𝐧}{e}^{i𝐤\cdot 𝐧}{\varphi }_{𝐧}^1\prod _{m\ne n}{\varphi }_{𝐧}^0$.

Енергія такого збудження дорівнює

$E_{𝐤}=E_0+D_f+L_f(𝐤)$,

де $E_0$ - енергія збудження ізольованої молекули,

$D_f=\sum _{𝐦}[\int |{\varphi }_m^1{|}^2{V}_{m,n}|{\varphi }_n^0{|}^{2}d\tau -\int |{\varphi }_m^0{|}^2{V}_{m,n}|{\varphi }_n^0{|}^{2}d\tau ]$

є енергією взаємодії збудженої молекули з незбудженими сусідами, а

$L_f(𝐤)=\sum _{𝐦}{e}^{i𝐤\cdot (𝐦-𝐧)}\int {\varphi }_m^{1*}{\varphi }_n^{0*}{V}_{m,n}{\varphi }_m^0{\varphi }_m^{1}d\tau$

є матричним елементом переносу збудження з m-тої молекули на n-ту.

Завдяки періодичності кристалу вказані суми не залежать від n, а тому ${\psi }_{𝐤}$ є розв'язком задачі. $E_{𝐤}$ задає неперервний спектр збудженнь.

Див. також

• Екситон Ваньє-Мотта
• Давидівське розщеплення

Джерела

• Шаблон:Книга