Конструкція Proj

У алгебричній геометрії конструкція Proj є аналогом конструкції афінних схем як спектрів кілець. Одержані за допомогою її допомогою схеми мають властивості проєктивних просторів і проєктивних многовидів.

У цій статті всі кільця вважаються комутативними кільцями з одиницею.

Proj градуйованого кільця

Proj як множина

Нехай $S$ — градуйоване кільце, де

$S=\underset{i\ge 0}{⨁}{S}_i$

є розкладом у пряму суму, асоційованим з градуюванням.

Позначимо через $S_{+}$ ідеал $\underset{i>0}{⨁}{S}_i.$ Нехай множина Proj S є множиною всіх однорідних простих ідеалів, що не містять $S_{+}.$

Надалі для стислості Proj S також позначається X.

Proj як топологічний простір

На Proj S можна ввести топологію, що називається топологією Зариського, якщо визначити замкнутими множинами множини виду

$V(a)=\{p\in \mathrm{Proj}S\mid a\subseteq p\},$

де a — однорідний ідеал S. Як і у випадку афінних схем, легко перевіряється, що V(a) — замкнуті множині деякої топології на X.

Дійсно, якщо $(a_i{)}_{i\in I}$ — сім'я ідеалів, то $\bigcap V(a_i)=V(\mathrm{\Sigma }{a}_i)$ і якщо множина I є скінченною, то $\bigcup V(a_i)=V(\mathrm{\Pi }{a}_i)$.

Еквівалентно, можна почати з відкритих множин і визначити

$D(a)=\{p\in \mathrm{Proj}S\mid a\subseteq ̸p\}.$

Стандартне скорочення полягає в тому, щоб позначати D(Sf) як D(f), де Sf — ідеал, породжений f. Для будь-якого a, D(a) і V(a) є доповнюючими множинами і наведене вище доведення показує, що D(a) утворюють топологію на Proj S. Перевага цього підходу в тому, що D(f), де f пробігає всі однорідні елементи S, утворюють базис цієї топології, що є необхідним інструментом для вивчення Proj S, аналогічно випадку спектрів кілець.

Proj як схема

На Proj S можна ввести пучок, що називається структурним пучком і перетворює його в схему. Як і в випадку конструкції Spec існує кілька способів це зробити: найбільш прямий з яких нагадує конструкцію регулярних функцій на проєктивному многовиді в класичній алгебричній геометрії. Для будь-якої відкритої множини U в Proj S кільце $O_X(U)$ задається як множина всіх функцій

$f:U\to \bigcup _{p\in U}{S}_{(p)}$

(Де $S_{(p)}$ позначає підкільце локального кільця $S_p$ точки $p$, що складається з часток однорідних елементів однакового степеня) таких, що для кожного простого ідеалу p в U:

1. F(p) є елементом $S_{(p)}$;
2. Існує відкрита підмножина V множини U, що містить p, і однорідні елементи s, t кільця S однакового степеня, такі, що для кожного простого ідеалу q в V:
   • t не належить q;
   • F(q) = s/t.

З визначення негайно випливає, що $O_X(U)$ утворюють пучок кілець $O_X$ на Proj S, і можна показати, що пара (Proj S, $O_X$) є схемою. А саме обмеження Proj S на відкриту підмножину D(f) є ізоморфним афінній схемі $(\mathrm{Spec}{S}_f^{(0)},O_{\mathrm{Spec}{S}_f^{(0)}}),$ де $S_f^{(0)}$ позначає кільце елементів нульового степеня у локалізації $S_p,$ тобто кільце елементів виду $\frac{g}{f^m}g\in S_{d}m,f\in S_d.$

Оскільки множини D(f) для однорідних f утворюють базу топології Зариського, то Proj S дійсно є схемою.

Пучок, асоційований з градуйованим модулем

Істотною властивістю S в конструкції вище була можливість побудови локалізацій $S_{(p)}$ для кожного простого ідеалу p в S. Цією властивістю також володіє будь-який градуйований модуль M над S, і, отже, конструкція з розділу вище із невеликими змінами дозволяє побудувати для такого M пучок $O_X$-модулів на Proj S, що позначається $\tilde{M}$. За побудовою цей пучок є квазікогерентним. Якщо S породжується скінченною кількістю елементів степеня 1 (тобто є кільцем многочленів або його фактором), всі квазікогерентні пучки на Proj S утворюються із градуйованих модулів за допомогою цієї конструкції. Відповідний градуйований модуль не є єдиним.

скручуючий пучок Серра

Окремим випадком пучка, асоційованого з градуйованим модулем є коли в якості M взяти саме S з іншим градуюванням: а саме, елементами степеня d модуля M є елементи степеня (d + 1) кільця S і M = S(1). Одержується квазікогерентний пучок $\tilde{M}$ на Proj S, що позначається $O_X(1)$ або просто O (1) і називається скручуючим пучком Серра. Можна перевірити, що O(1) є оборотним пучком.

Одна з причин корисності O (1) полягає в тому, що він дозволяє відновити алгебричну інформацію про S, яка була втрачена в конструкції $O_X$ при переході до часток степеня 0. У випадку Spec A для кільця A, глобальні перетини структурного пучка є самим A, тоді як в нашому випадку глобальні перетини пучка $O_X$ складаються з елементів S ступеня 0. Якщо ми визначимо

$O(n)=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}O(1)$

то кожне O(n) містить інформацію степеня n про S. Аналогічно, для пучка $O_X$-модулів N, асоційованого з S-модулем M можна визначити

$N(n)=N\otimes O(n)$

і очікувати, що цей пучок містить втрачену інформацію про M. Це дозволяє припустити, хоча і неправильно, що S можна відновити з цих пучків; це насправді вірно, якщо S є кільцем многочленів.

n-вимірний проєктивний простір

Якщо A — кільце, то n-вимірний проєктивний простір над A за означенням є схемою

${\mathbb{P}}_A^n=\mathrm{Proj}A[x_0,\dots ,x_n].$

Градуювання на кільці $S=A[x_0,\dots ,x_n]$ вводиться вважаючи, що кожен $x_i$ має степінь 1 і кожен елемент A має степінь 0 . Зіставляючи це з означенням O (1), даним вище, перетину O (1) - лінійні однорідні многочлени, породжені елементами $x_i$.

Приклади

• Якщо взяти як базове кільце $A=ℂ[\lambda ]$, то $\text{Proj}(A[X,Y,Z]/(Z{Y}^2-X(X-Z)(X-\lambda Z)))$ має канонічний проєктивний морфізм на афінну пряму ${𝔸}_{\lambda }^1$, шари якого є еліптичними кривими, крім шарів над точками $\lambda =0,1$, над якими шари вироджуються в нодальні криві.
• Проєктивна гіперповерхня $\text{Proj}(ℂ[X_0,\dots ,X_4]/(X_0^5+\cdots X_4^5))$ є прикладом тривимірної квінтики Ферма, яка також є многовидом Калабі — Яу.
• Зважений проєктивний простір можна побудувати, використовуючи кільця многочленів з нестандартними степенями змінних. Наприклад, зважений проєктивний простір $\mathbb{P}(1,1,2)$ відповідає $\text{Proj}$ кільця $A[X_0,X_1,X_2]$ де $X_0,X_1$ мають ступінь $1$, тоді як $X_2$ має ступінь 2.
• Біградуйоване кільце відповідає підсхемі добутку проєктивних просторів. Наприклад, біградуйована алгебра $ℂ[X_0,X_1,Y_0,Y_1]$, де $X_i$ мають степінь $(1,0)$ і $Y_i$ мають степінь $(0,1)$, відповідає ${\mathbb{P}}_X^1\times {\mathbb{P}}_Y^1$.

Література

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes» Шаблон:Webarchive. Publications Mathématiques de l’IHÉS. 8, 1961.
• Шаблон:Citation