Індикатриса Дюпена

Індикатриса Дюпена або індикатриса кривини — плоска крива на дотичній площині до поверхні, яка дає наочне уявлення про викривлення поверхні в даній її точці. Індикатриса Дюпена названа на честь французького математика Шарля Дюпена, що вперше застосував її до дослідження поверхонь у 1813 році.

Означення і властивості

Індикатриса Дюпена лежить у площині, дотичній до поверхні $S$ в точці $p$, і є сукупністю кінців відрізків, відкладених від точки $p$ в напрямку $u$ в дотичній площині, що мають довжину, рівну $1/\sqrt{{\kappa }_u}$, де ${\kappa }_u$ — абсолютна величина нормальної кривини поверхні $S$ в точці $p$ в напрямку $u$.

Рівняння індикатриси Дюпена має вигляд

$I{I}_p(v)=(d_{p}Nv,v)=\pm 1,$

де $v$ — вектор дотичної площини, $I{I}_p$ — друга фундаментальна форма поверхні $S$, в точці $p,$ а $d_{p}N$ — відображення Вейнгартена.

Позначивши $e_1,e_2$ — головні напрямки кривини, тобто власні вектори відображення Вейнгартена (вони є ортогональними і утворюють базис дотичної площини), якщо $v=\eta e_1+\theta e_2$ рівняння індикатриси можна записати як:

$I{I}_p(v)=k_1{\eta }^2+k_2{\theta }^2=\pm 1,$

тобто індикатриса Дюпена є об'єднанням конік.

Індикатриса Дюпена є граничним випадком перетину поверхні із площинами паралельними дотичній площині у точці, що наближаються до даної площини при певній нормалізації. А саме введемо систему координат початок якої є у даній точці і x, y відкладено по головних напрямках дотичної площини, а z у напрямку додатної нормалі до точки. Тоді в деякому околі точки поверхня задається як $z=h(x,y)$ для деякої диференційовної функції h. Із формули Тейлора і властивостей головних кривин для такої системи координат можна отримати, що $h(x,y)=\frac{1}{2}(k_1{x}^2+k_2{y}^2)+R,$ де $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{R}{x^2+y^2}=0.$ Розглянувши перетин поверхні у таких координатах із площиною $z=\epsilon$ для достатньо малого $\epsilon$ отримаємо рівняння кривої $k_1{x}^2+k_2{y}^2+2R=2\epsilon .$ Використавши заміну змінних $x=\overline{x}\sqrt{2\epsilon },y=\overline{y}\sqrt{2\epsilon }$ це рівняння перепишеться $k_1{\overline{x}}^2+k_2{\overline{y}}^2+2\overline{R}=1,$ до того ж $\overline{R}$ прямуватиме до нуля при прямуванні $\epsilon$ до нуля тобто крива у відповідних координатах наближатиметься до індикатриси Дюпена.

Вигляд індикатриси для різних типів точок

Вигляд індикатриси Дюпена залежить від типу точки. Також вона дозволяє визначити асимптотичні напрямки у точці поверхні і спряжені напрямки (тобто напрямки задані векторами $v_1,v_2$ для яких $(d_{p}N{v}_1,v_2)=(v_1,d_{p}N{v}_2)=0)$:

• Якщо $p$ — еліптична точка поверхні, тобто гаусова кривина є додатною то головні кривини мають однаковий знак і індикатриса Дюпена є еліпсом, напрямок головної і малої осі якого задаються головними напрямками в точці поверхні.

Зокрема якщо $p$ є непланарною точкою округлення то індикатриса Дюпена є колом.

Для довільної точки індикатриси Дюпена напрямок визначений вектором від початку координат до даної точки є спряжений до напрямку заданому дотичною прямою до індикатриси у цій точці. Усі спряжені пари напрямків можна одержати у такий спосіб.

• Якщо $p$ — гіперболічна точка поверхні, тобто гаусова кривина є від'ємною, то індикатриса Дюпена є парою пов'язаних гіпербол із спільною парою асимптотичних ліній. Ці лінії задають асимптотичні напрямки у точці поверхні.

Для довільної точки індикатриси Дюпена напрямок визначений вектором від початку координат до даної точки є спряжений до напрямку заданому дотичною прямою до індикатриси у цій точці. Усі спряжені пари напрямків можна одержати у такий спосіб за винятком двох асимптотичних напрямків, кожен із яких є спряженим сам із собою.

• Якщо $p$ — параболічна точка поверхні, тобто гаусова кривина дорівнює нулю, але середня кривина не дорівнює нулю, то індикатриса Дюпена є парою паралельних прямих, спільний напрямок яких є асимптотичним напрямком у точці поверхні.

Див. також

• Гіпербола
• Друга квадратична форма
• Еліпс
• Кривина (математика)

Література

• Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків: Основа, 1995 . — с. 41-46
• Пришляк О., Диференціальна геометрія: Курс лекцій. Шаблон:Webarchive  — К.: Київський університет, 2004. — 68 с.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book