Множина рівня

Множиною рівня $y_o\in E_f$ функції $f$, означеної на $E_f$ називається множина виду $f^{-1}(y_o)=\{x:f(x)=y_0\}$.

Множина рівня функцій, що володіють фрактальними властивостями може бути одноточковою, зліченною або континуальною.

Приклад

Розглянемо 2-вимірну евклідову відстань: $$d(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$$ Множнина рівня $L_r(d)$ цієї функцій складається з точок, що лежать на відстані $r$ від початку координат, тобто коло. Наприклад, $(3,4)\in L_5(d)$, бо $d(3,4)=5$. Геометрично це означає, що точка $(3,4)$ приналежить колу радіуса 5 з центром в початку координат. Загальніше, сфера в метричному просторі $(M,m)$ з радіусом $r$ із центром у $x\in M$ можна означити через множину рівня $L_r(y\mapsto m(x,y))$.

Множини рівнів і градієнт

Розгляньмо функцію f чий графік виглядає як пагорб. Сині криві це множини рівня; червоні криві слідують напрямку градієнта. Обачний ходок обирає синю стежку; відважний ходок простує червоною стежкою. Зверніть увагу, що сині і червоні стежки завжди перетинаються під прямим кутом.

Теорема: Якщо функція Шаблон:Mvar диференційовна, тоді в кожній точці градієнт Шаблон:Mvar або рівний нулю, або перпендикулярний множині рівня Шаблон:Mvar у цій точці.

Щоб збагнути, що це означає уявіть, що два скелелази в одній точці на горі. Один із них зухвалий і обирає напрямок найкрутішого схилу. Інший натомість поміркований; він не бажає ані дертись угору, ані спускатись донизу і обирає шлях уздовж якого він буде на тій самій висоті. Наша теорема стверджує, що ці скелелази розійдуться під прямим кутом.

Шаблон:Математика-доробити Шаблон:Перекласти