Теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта

Теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта — твердження у математиці, що описує структуру універсальних обгортуючих алгебр і є одним із фундаментальних результатів теорії алгебр Лі і їх представлень.

Твердження

Нехай $T(𝔤),U(𝔤),S(𝔤)$ позначають відповідно тензорну алгебру, універсальну обгортуючу алгебру і симетричну алгебру для алгебри Лі $𝔤$ над полем K. Для тензорної алгебри можна ввести фільтрацію

$T_m𝔤=K\oplus 𝔤\oplus T^2𝔤\oplus \cdots \oplus T^m𝔤$

де

$T^m𝔤=T^{\otimes m}𝔤=𝔤\otimes \cdots \otimes 𝔤$

Для універсальної обгортуючої і симетричної алгебри теж при цьому отримуються фільтрації, якщо взяти відповідні факторизації зокрема $U_m(𝔤)=\pi (T_m)$ і $S_m(𝔤)=p(T_m),$ де $\pi ,p$ — відповідні факторизації для універсальної обгортуючої і симетричної алгебр.

Тоді можна ввести нові простори:

$G_m(𝔤)=U_m(𝔤)/U_{m-1}(𝔤)$

і

$G(𝔤)=G_0(𝔤)\oplus G_1(𝔤)\oplus G_2(𝔤)\dots$

Позначаючи $\psi :U(𝔤)\to G(𝔤)$ відповідну факторизацію, отримуємо також відображення $\psi \circ \pi :T(𝔤)\to G(𝔤).$ Оскільки його образ для всіх елементів виду $a\otimes b-b\otimes a,a,b\in 𝔤$ є рівним нулю, це також є справедливим і для ідеалу породженого цими елементами. Відповідно відображення $\psi \circ \pi$ породжує відображення $\varphi :S(𝔤)\to G(𝔤).$

Теорема Пуанкаре — Біркгофа — Вітта: відображення $\varphi$ є ізоморфізмом алгебр $S(𝔤)$ і $G(𝔤).$

За допомогою базисних елементів

Нехай $𝔤$ — алгебра Лі над полем $K$, $x_{\alpha }$— її цілком впорядкований базис як векторного простору, тобто індекси $\alpha \in I$, де множина $I$ є цілком впорядкованою. Якщо $i:𝔤\to U(𝔤)$ — відображення $𝔤$ у її обгортуючу алгебру, то елементи $1$ і $i(x_{{\alpha }_1})\cdot \dots \cdot i(x_{{\alpha }_s})(s⩾1,{\alpha }_1⩽...⩽{\alpha }_s)$ утворюють базис векторного простору $U$. Зокрема відображення $i$ є ін'єктивним.

Доведення

Нехай $x_{\alpha },\alpha \in I$ — упорядкований базис $𝔤.$ Тоді симетричну алгебру $S(𝔤)$ можна ототожнити з алгеброю многочленів від змінних $x_{\alpha },\alpha \in I.$ Для кожної послідовності індексів $\mathrm{\Sigma }=({\alpha }_1,...,{\alpha }_m)$ можна ввести елементи $z_{\mathrm{\Sigma }}=z_{{\alpha }_1},...,z_{{\alpha }_m}\in S(𝔤)$ і $x_{\mathrm{\Sigma }}=x_{{\alpha }_1}\otimes ...\otimes x_{{\alpha }_m}\in T(𝔤).$ Послідовність $\mathrm{\Sigma }$ називається зростаючою, якщо ${\alpha }_1⩽...⩽{\alpha }_m.$ Порожня послідовність теж вважається зростаючою і $z_{\mathrm{\varnothing }}=1.$ Тоді множина $z_{\mathrm{\Sigma }}$ для усіх зростаючих послідовностей $\mathrm{\Sigma }$ є базисом в $S(𝔤).$

$\alpha ⩽\mathrm{\Sigma }$ позначає, що $\alpha ⩽\mu$ для всіх $\mu \in \mathrm{\Sigma }.$ Позначимо $J$ — ідеал у $T(𝔤)$ породжений елементами $a\otimes b-b\otimes a,a,b\in 𝔤$ (тобто $S(𝔤)=T(𝔤)/J$).

Лема 1

Для кожного $m\in Z^{+}$ існує єдине таке лінійне відображення $f_m:𝔤\otimes S_m\to S(𝔤),$ що:

• $(A_m)f_m(x_{\alpha }\otimes z_{\mathrm{\Sigma }})=z_{\alpha }{z}_{\mathrm{\Sigma }}$ для $\alpha ⩽\mathrm{\Sigma },z_{\mathrm{\Sigma }}\in S_m;$
• $(B_m)f_m(x_{\alpha }\otimes z_{\mathrm{\Sigma }})-z_{\alpha }{z}_{\mathrm{\Sigma }}\in S_k$ для $k⩽m,z_{\mathrm{\Sigma }}\in S_k;$
• $(C_m)f_m(x_{\alpha }\otimes f_m(x_{\mu }\otimes z_T))=f_m(x_{\mu }\otimes f_m(x_{\alpha }\otimes z_T))+f_m([x_{\alpha },x_{\mu }]\otimes z_T)$ для всіх $z_T\in S_{m-1}.$

При цьому обмеження відображення $f_m$ на $𝔤\otimes S_{m-1}$ узгоджується з $f_{m-1}.$

Доведення

Обмеження відображення $f_m$ на $𝔤\otimes S_{m-1}$ автоматично задовольняє умови $(A_m),(B_m),(C_m)$ і при виконанні єдиності має збігатися з $f_{m-1}.$

Існування і єдиність відображення $f_m$ доводиться індукцією по m. При m = 0 маємо $z_{\mathrm{\Sigma }}=1$; тому можна встановити $f_0(x_{\alpha }\otimes 1)=z_{\alpha }$ (і продовжити лінійно на $𝔤\otimes S_0.$ Умови $(A_0),(B_0),(C_0)$ виконуються, і з $(A_0)$ зрозуміло, що вказане відображення $f_0$ є єдиним можливим.

Припустивши існування єдиного відображення $f_{m-1},$ що задовольняє необхідні умови продовжимо $f_{m-1}$ до $f_m.$ Для цього досить визначити $f_m(x_{\alpha }\otimes z_{\mathrm{\Sigma }})$ для зростаючих послідовностей $\mathrm{\Sigma }$ довжини m. У випадку $\alpha ⩽\mathrm{\Sigma }$ умова $(A_m)$ буде виконуватися, лише якщо задати $f_m(x_{\alpha }\otimes z_{\mathrm{\Sigma }})=z_{\alpha }{z}_{\mathrm{\Sigma }}.$ Якщо вказана нерівність не виконується, то перший індекс $\mu$ у послідовності $\mathrm{\Sigma }$ є строго меншим ніж $\alpha ,$ тому $\mathrm{\Sigma }=(\mu ,T),$ де $\mu ⩽T$ і Т має довжину m-1. З умови $(A_{m-1})$ одержуємо $z_{\mathrm{\Sigma }}=z_{\mu }{z}_T=f_{m-1}(x_{\mu }\otimes z_T).$ Оскільки $\mu ⩽T,$ то $f_m(x_{\mu }\otimes z_T)=z_{\mu }{z}_T,$ так що ліва частина співвідношення $(C_m)$ набуває виду $f_m(x_{\alpha }\otimes z_{\mathrm{\Sigma }}).$ З іншого боку, з $(B_{m-1})$ випливає, що $f_m(x_{\alpha }\otimes z_T)=f_{m-1}(x_{\alpha }\otimes z_T)\equiv z_{\alpha }{z}_{T}mod{S}_{m-1}.$ Це означає, що права частина співвідношення $(C_m)$ вже визначена:

$z_{\mu }{z}_{\alpha }{z}_T+f_{m-1}(x_{\mu }\otimes y)+f_{m-1}([x_{\alpha },x_{\mu }]\otimes z_T),y\in S_{m-1}.$

Попередні зауваження показують, що відображення $f_m$ можна визначити в єдиний спосіб. При цьому умови $(A_m)$ і $(B_m)$ очевидно виконуються, як і $(C_m)$ при $\mu <\alpha ,\mu ⩽T.$ Але $[x_{\mu },x_{\alpha }]=-[x_{\alpha },x_{\mu }],$ тож умова $(C_m)$ виконується і при $\alpha <\mu ,\alpha ⩽T.$ Воно виконується і при $\alpha =\mu .$

Залишається розглянути випадок, коли умови $\alpha ⩽T$ і $\mu ⩽T$ не виконуються. Запишемо $T=(\nu ,\mathrm{\Psi }),$ де $\nu ⩽\mathrm{\Psi },\nu <\alpha ,\nu <\mu .$ Для зручності позначень нехай xz позначає $f_m(x\otimes z).$ З припущення індукції випливає, що $x_{\mu }{z}_T=x_{\mu }(x_{\nu }{z}_{\mathrm{\Psi }})=x_{\nu }(x_{\mu }{z}_{\mathrm{\Psi }})+[x_{\mu },x_{\nu }]z_{\mathrm{\Psi }},$ і при цьому $x_{\mu }{z}_{\mathrm{\Psi }}=z_{\mu }{z}_{\mathrm{\Psi }}+w(w\in S_{m-2})$ з огляду на умови $(B_{m-2}).$ Оскільки $\nu ⩽\mathrm{\Psi },\nu <\mu ,$ то $(C_m)$ можна застосувати до $x_{\alpha }(x_{\nu }(z_{\mu }{z}_{\mathrm{\Psi }})).$ За припущенням індукції можна також застосувати $(C_m)$ до $x_{\alpha }(x_{\nu }w),$ а тоді і до $x_{\alpha }(x_{n}u(x_{\mu }{z}_{\mathrm{\Psi }})).$ В результаті:

$x_{\alpha }(x_{m}uT)=x_{\nu }(x_{\alpha }(x_{\mu }{z}_{\mathrm{\Psi }}))+[x_{\alpha },x_{\nu }](x_{\mu }{z}_{\mathrm{\Psi }})+[x_{\mu },x_{\nu }](x_{\alpha }{z}_{\mathrm{\Psi }})+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\mathrm{\Psi }}.$

В усіх цих міркуваннях $\alpha$ і $\mu$ можна поміняти місцями. Якщо переставити їх у останнє рівняння і відняти отримане рівняння з вихідного, то ми отримаємо (за допомогою тотожності Якобі):

$\begin{array}{cc}{x}_{\alpha }(x_m{z}_T)-x_{\mu }(x_{\alpha }{z}_T)=& x_{\nu }(x_{\alpha }(x_{\mu }{z}_{\mathrm{\Psi }}))-x_{\nu }(x_{\mu }(x_{\alpha }{z}_{\mathrm{\Psi }}))+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\mathrm{\Psi }}-[x_{\mu },[x_{\alpha },x_{\nu }]]z_{\mathrm{\Psi }}=\\ & x_{\nu }([x_{\alpha },x_{\mu }]z_{\mathrm{\Psi }})+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]z_{\mathrm{\Psi }}+[x_{\mu },[x_{\mu },x_{\alpha }]]z_{\mathrm{\Psi }}=\\ & [x_{\alpha },x_{\mu }](x_{\nu }{z}_{\mathrm{\Psi }})+([x_{\mu },[x_{\alpha },x_{\nu }]]+[x_{\alpha },[x_{\mu },x_{\nu }]]+[x_{\mu },[x_{\mu },x_{\alpha }]])z_{\mathrm{\Psi }}=\\ & [x_{\alpha },x_{\mu }](z_T)\end{array}$

Цим доведено співвідношення $(C_m),$ а відтак і всю лему.

Лема 2

Існує представлення $\rho :𝔤\to 𝔤𝔩(S(𝔤)),$ що задовольняє умови

• $\rho (x_{\alpha })z_{\mathrm{\Sigma }}=z_{\alpha }{z}_{\mathrm{\Sigma }},\alpha ⩽\mathrm{\Sigma };$
• $\rho (x_{\alpha })z_{\mathrm{\Sigma }}\equiv z_{\alpha }{z}_{\mathrm{\Sigma }}mod{S}_m,$ для послідовності $\mathrm{\Sigma }$ довжини m.

Доведення

Згідно попередньої леми існує лінійне відображення $f:𝔤\otimes S(𝔤)\to S(𝔤),$ що задовольняє умовам $(A_m),(B_m),(C_m)$ при всіх m. Іншими словами, $S(𝔤)$ перетворюється в $𝔤$-модуль (згідно умови $(C_m)$), який зважаючи на умови $(A_m),(B_m)$ задовольняє властивості леми.

Лема 3

Нехай $t\in T_m\cap \mathrm{Ker}\pi .$ Тоді однорідна компонента $t_m$ степеня $m$ в $t$ належить ідеалу J.

Доведення

Запишемо $t_m$ як лінійну комбінацію базисних елементів $x_{\mathrm{\Sigma }(i)},(1⩽i⩽r)$ де кожна послідовність $\mathrm{\Sigma }(i)$ має довжину m. Гомоморфізм алгебр Лі $\rho :𝔤\to 𝔤𝔩(S(𝔤)),$ побудований в попередній лемі зважаючи на універсальну властивість алгебри $U(𝔤)$ продовжується до гомоморфізму алгебр $\rho :T(𝔤)\to \mathrm{End}(S(𝔤)),$ для якого $\mathrm{Ker}\pi \subset \mathrm{Ker}\rho .$ Тому $\rho (t)=0.$ Але одиниця під дією гомоморфізму $\rho (t)$ відображається в многочлен, старший член якого з огляду на попередню лему є лінійною комбінацією елементів $x_{\mathrm{\Sigma }(i)},(1⩽i⩽r).$ Тому ця лінійна комбінація дорівнює 0 в $S(𝔤)$ і $t_m\in J,$ що і треба було довести.

Доведення теореми ПБВ

Відображення $\pi$ є сюр'єктивним і $\pi (T_m\setminus T_{m-1})=U_m\setminus U_{m-1}.$Звідси випливає, що і відображення $\psi \circ \pi :T(𝔤)\to G(𝔤)$і також $\varphi :S(𝔤)\to G(𝔤)$є сюр'єктивними.

Доведемо тепер ін'єктивність. Нехай $t\in T^m.$ Потрібно довести, що з умови $\pi (t)\in U_{m-1}$ випливає, що $t\in \mathrm{Ker}\pi .$ Але якщо $t\in T^m,\pi (t)\in U_{m-1},$ то $\pi (t)=\pi (t^{\prime })$ для деякого $t^{\prime }\in T_{m-1}$; отже, $t-t^{\prime }\in \mathrm{Ker}\pi .$ Застосуємо попередню лему до тензора $t-t^{\prime }\in T_m\cap \mathrm{Ker}\pi :$ однорідна компонента степені m є рівною $t$ і тому $t\in J.$

Див. також

• Симетрична алгебра
• Універсальна обгортуюча алгебра

Література

• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation