Теорема Енгеля

Теорема Енгеля — твердження в теорії алгебр Лі щодо еквівалентності різних означень нільпотентності для цих алгебр.

Необхідні означення

Нехай $𝔤$ — скінченновимірна алгебра Лі над довільним полем k. Якщо $𝔞,𝔟$ — підмножини алгебри, то $[𝔞,𝔟]$ позначає скінченні суми елементів виду $[X,Y],$ де $X\in 𝔞,Y\in 𝔟.$

Нижній центральний ряд алгебри Лі вводиться послідовно: ${𝔤}^0=𝔤,{𝔤}^{i+1}=[𝔤,{𝔤}^i]$.

Якщо $𝔥\subset 𝔤$ — підалгебра Лі, то можна також ввести зростаючі центральні ряди: $C_{𝔤}^0(𝔥)=0,C_{𝔤}^{i+1}(𝔥)=\{Xin𝔤|[X,𝔥]\subset C_{𝔤}^i(𝔥)\}.$ Для позначення $C_{𝔤}^{i+1}(𝔤)$ також використовується $C^{i+1}(𝔤).$

Алгебра Лі називається нільпотентною, якщо ${𝔤}^n=0$ для деякого числа. Еквівалентно, якщо ввести позначення ${\mathrm{ad}}_X(Y)=[X,Y],$ то алгебра Лі буде нільпотентною якщо для деякого натурального числа n і $\mathrm{\forall }{X}_1,X_2,\dots ,X_n,Y\in 𝔤,(1)$ виконується Шаблон:Math.

Алгебра Лі $𝔤$ називається ad-нільпотентною, якщо кожне лінійне відображення ${\mathrm{ad}}_X,X\in 𝔤$ є нільпотентним.

Твердження теореми

Скінченновимірна алгебра Лі над довільним полем k є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли вона є ad-нільпотентною.

Доведення

Якщо алгебра Лі є нільпотентною, то існує число n для якого Шаблон:Math для всіх $\mathrm{\forall }{X}_1,X_2,\dots ,X_n,Y\in 𝔤.$ Зокрема звідси $({\mathrm{ad}}_X{)}^n=0,\mathrm{\forall }X\in 𝔤$ і всі оператори ${\mathrm{ad}}_X$ є нільпотентними.

Навпаки, нехай $𝔤$ — скінченновимірна ad-нільпотентна алгебра Лі. Алгебра Лі є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли факторалгебра $𝔤/C(𝔤)$ по центру алгебри є нільпотентною. Дійсно ця факторалгебра є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли для деякого n виконується ${𝔤}^n\subset C(𝔤).$ Але тоді ${𝔤}^{n+1}=0.$

Для введених вище зростаючих центральних рядів $C^1(𝔤)=C(𝔤),$ а $C^{i+1}(𝔤)/C^i(𝔤)$ є центром алгебри $𝔤/C^i(𝔤).$ Тому ${𝔤}^{n+1}=0$ тоді і тільки тоді коли $C^i(𝔤)=𝔤.$

Якщо для підалгебри $𝔥\subset 𝔤$ усі лінійні оператори $({\mathrm{ad}}_X),X\in 𝔥$ є нільпотентними, то $C_{𝔤}^n(𝔥)=𝔤.$ З цього твердження для $𝔥\subset 𝔤$ і попереднього критерію нільпотентності випливає теорема Енгеля.

Доведення можна здійснювати по розмірності алгебри $𝔥$. Для n=1 воно відразу випливає із означення нільпотентності ${\mathrm{ad}}_X$. Нехай розмірність $𝔥$ є більшою одиниці і $𝔧$ — її максимальна власна підалгебра Лі. Тоді згідно припущення індукції існує число m для якого $C_{𝔤}^m(𝔧)=𝔤$ і $C_{𝔥}^m(𝔧)=𝔥.$

Візьмемо таке число j, що $C_{𝔥}^j(𝔧)\subset 𝔧$ але $C_{𝔥}^{j+1}(𝔧)\subset ̸𝔧.$ Нехай також $X\in C_{𝔥}^{j+1}(𝔧)-𝔧.$ Тоді $[X,𝔧]\subset 𝔧$ і тому $kX\oplus 𝔧$ є підалгеброю у $𝔥$ і зважаючи на максимальність $𝔥=kX\oplus 𝔧$ і $𝔧$ є ідеалом у $𝔥.$

Далі $[X,C_{𝔤}^i(𝔧)]\subset C_{𝔤}^i(𝔧)$ для всіх i. Справді, очевидно $[X,0]=0$ і якщо твердження справедливе для всіх чисел менше i і $Y\in C_{𝔤}^i(𝔧),H\in 𝔧,$ то $[[Y,X],H]=[[Y,H],X]+[Y,[X,H]]\subset [C_{𝔥}^{i-1}(𝔧),X]$ і тому ${\mathrm{ad}}_X(Y)=[X,Y]\subset C_{𝔤}^i(𝔧).$

Далі, оскільки відображення ${\mathrm{ad}}_X$ є нільпотенним і стабілізує підалгебри послідовності

$0=C_{𝔤}^0(𝔧)\subset \dots \subset C_{𝔤}^m(𝔧)=𝔤$

то існує подрібнення

$0=B^0\subset \dots \subset B^n=𝔤$

для якого $[X,B^i]\subset B^{i-1}$ і також $[B^i,𝔧]\subset B^{i-1}$.

Звідси $[B^i,𝔥]\subset B^{i-1}$ і $C_{𝔤}^n(𝔥)=𝔤.$

Див. також

• Нільпотентна алгебра Лі

Література

• Шаблон:Citation