Узагальнений розподіл Пуассона на локально компактній абелевій групі

Узагальнений розподіл Пуассона на локально компактній абелевій групі поширює поняття класичного розподілу Пуассона на прямій на локально компактні абелеві групи.

Нехай $X$ — локально компактна абелева група, $Y$її група характерів, $(x,y)$ — значення характеру $y\in Y$на елементі $x\in X$. Нехай $F$ — скінченна невід'ємна міра на $X$. Узагальненим розподілом Пуассона, асоційованим з мірою $F$, називається зсув розподілу $e(F)$ виду

$e(F)=\exp \{-F(X)\}(E_0+F+\frac{F^{*}2}{2!}+\dots +\frac{F^{*}n}{n!}+\dots )$,

де $E_0$ − вироджений розподіл, зосереджений в нулі групи $X$.

Розподіл $e(F)$ — безмежно подільний. Характеристична функція розподілу $e(F)$ має вигляд

$\widehat{e(F)}(y)=\exp \{\underset{X}{\int }[(x,y)-1]dF(x)\}$.

Література

• Parthasarathy K.R., Ranga Rao R., Varadhan S. R. S. Probability distributions on locally compact abelian groups // Illinois J. Math. -  1963. — 7. — P. 337—369.
• Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. Probab. Math. Statist. — 3. -  New York — London: Academic Press,  1967.
• Feldman G.M. Arithmetic of probability distributions and characterization  problems on Abelian groups. Transl. Math. Monographs. — 116. -  Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993.