Теорема Ейзенштейна

Теорема Ейзенштейна — результат у геометричній арифметиці, доведений німецьким математиком Готлобом Ейзенштейном :

Згідно твердження теореми якщо формальний степеневий ряд $y=\sum _{n\in \mathbb{N}}{a}_n{X}^n$ є алгебричною функцією, тобто задовольняє рівняння P(X, y) = 0 для деякого ненульового многочлена P(X, Y) коефіцієнти якого є алгебричними числами то існує ненульове ціле число A, таке що для всіх n > 0, число Aⁿa_n є алгебричним цілим числом.

Зокрема якщо коефіцієнти Шаблон:Math є раціональними, то Шаблон:Math є цілими числами , тому прості дільники знаменників усіх чисел Шаблон:Math належать скінченній множині простих дільників числа Шаблон:Math. Наслідком цього зокрема є трансцендентність, наприклад, логарифмічної і експоненційної функцій.

Приклад

Для будь-якого цілого числа p > 0,

$(1-x{)}^{1/p}=1-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{C_{p,n-1}}{p^{2n-1}}{x}^n$

де додатні числа Шаблон:Math, узагальнюють числа Каталана Шаблон:Math (що є частковим випадком для p = 2). Оскільки функція $(1-x{)}^{1/p}$ є алгебричною (є коренем рівняння $y^p+x-1$), то має існувати число Шаблон:Math в твердженні теореми. Таким числом очевидно є, наприклад, $A=p^2$. Дійсно $A^n{a}_n=p^{2n}\frac{C_{p,n-1}}{p^{2n-1}}=p{C}_{p,n-1}\in \mathbb{Z}.$

Генератриса чисел Шаблон:Math є рівною,

$z:=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{p,n}{x}^n=\frac{1-(1-p^{2}x{)}^{1/p}}{px}.$

Для чисел Шаблон:Math виконується рівність Шаблон:Math і рекурентні співвідношення

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}{C}_{p,n}=\sum _{2\le k\le p}(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})p^{k-2}(-1{)}^k\prod _{i_1+\dots +i_k=n-k+1}{C}_{p,i_j}.$

Доведення

Нехай N позначає степінь змінної Y у многочлені P(X, Y). Існують многочлени P_j(X, Y) (коефіцієнти яких є алгебричними числами) для яких

$P(X,Y+Z)=\sum _{j=0}^N{P}_j(X,Y)Z^j.$

Згідно гіпотези, P(X, y) = 0. Без втрати загальності можна припустити, P₁(X, y) ≠ 0 — в іншому випадку P(X, Y) можна замінити на P₁(X, Y), що є ненульовою і для якої степінь змінної Y є < N.

Нехай m є нормуванням P₁(X, y), тобто найменшим індексом k для якого коефіцієнт X^k у цьому формальному степеневому ряді є не рівним нулю. Можна записати:

$y=u+X^{m+1}vu=\sum _{n=0}^{m+1}{a}_n{X}^{n}v=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{X}^n(b_n=a_{m+1+n}).$

Згідно гіпотези тереми, усі Шаблон:Math є алгебричними числами, твердження достатньо довести для v. Маємо

$0=P(X,y)=P_0(X,u)+P_1(X,u)X^{m+1}v+\sum _{j=2}^N{P}_j(X,u)(X^{m+1}v{)}^j.$

Згідно вибору m, многочлен P₁(X, u)X^m+1 ділиться на X^2m+1 але не на X^2m+2. Оскільки сума є рівною нулю, то і P₀(X, u) ділиться на X^2m+1 і поділивши на цю степінь отримаємо

$\sum _{j=0}^N{Q}_j(X)v^j=0,\mathrm{\forall }j>1Q_j(0)=0\mathrm{e}\mathrm{t}A:=Q_1(0)\ne 0.$

Коефіцієнти многочленів Q_j є алгебричними числами. Помноживши на деяке ціле число можна вважати, що всі ці числа є алгебричними цілими, як і число Шаблон:Math. Рекурентно можна довести це ж і для Шаблон:Math для n ≥ 1. Розглянувши коефіцієнти при степенях n у рівності

$\sum _{j=0}^N{Q}_j(X){\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{X}^n\right)}^j=0,$

отримаємо, що $A{b}_n$є лінійною комбінацією з коефіцієнтами, що є алгебричними цілими виразів виду

$\prod _{1\le i<n}{b}_i^{k_i}\sum i{k}_i<n.$

Кожен такий доданок помножений на $A{b}_n$є згідно припущення індукції алгебричним цілим і тому їх сума є алгебричним цілим.

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book