Норма ідеалу

У комутативній алгебрі, нормою ідеалу називається узагальнення норми елемента у скінченному розширенні поля. Дане поняття є дуже важливим зокрема у теорії чисел оскільки він визначає розмір ідеалів складних кілець чисел за допомогою ідеалів менш складних кілець. У випадку коли цим менш складним кільцем є кільце цілих чисел Z, норма ненульового ідеалу I числового кільця R є рівною кількості елементів скінченного факторкільця R/I.

Відносна норма

Нехай A — кільце Дедекінда з полем часток K і B — ціле замикання в скінченному сепарабельному розширенні L поля K (у цьому випадку B також є кільцем Дедекінда). Нехай ${ℐ}_A$ і ${ℐ}_B$ — групи ненульових дробових ідеалів кілець A і B, відповідно. Тоді відображенням норми за означенням є єдиний гомоморфізм груп

$N_{B/A}:{ℐ}_B\to {ℐ}_A$,

що задовольняє

$N_{B/A}(𝔮)={𝔭}^{[B/𝔮:A/𝔭]}$

для всіх ненульових простих ідеалів $𝔮$ у B, де $𝔭=𝔮\cap A$. Оскільки A і B є кільцями Дедекінда то всі їх прості ідеали є максимальними і тому $B/𝔮$ і $A/𝔭$ є полями і перше є скінченним розширенням другого.

Еквівалентно, для будь-якого $𝔟\in {ℐ}_B$ норма $N_{B/A}(𝔟)$ є дробовим ідеалом у A породженим множиною $\{N_{L/K}(x)|x\in 𝔟\}$ норм елементів із $𝔟$.

Для $𝔞\in {ℐ}_A$ з означень випливає, що $N_{B/A}(𝔞B)={𝔞}^n$, де $n=[L:K]$. Норма головного ідеалу є рівною нормі відповідного елемента: $N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.$

Нехай $L/K$ — розширення Галуа числового поля з кільцем цілих чисел ${𝒪}_K\subset {𝒪}_L$. Тоді з попереднього для $A={𝒪}_K,B={𝒪}_L$, і для будь-якого $𝔟\in {ℐ}_{{𝒪}_L}$ отримуємо

$N_{{𝒪}_L/{𝒪}_K}(𝔟)={𝒪}_K\cap \prod _{\sigma \in \mathrm{Gal}(L/K)}\sigma (𝔟),$

що є елементом ${ℐ}_{{𝒪}_K}$. Позначення $N_{{𝒪}_L/{𝒪}_K}$ іноді спрощується до $N_{L/K}$.

У випадку $K=\mathbb{Q}$, доцільно обмежитися додатними раціональними числами як множиною значень для $N_{{𝒪}_L/\mathbb{Z}}$ оскільки $\mathbb{Z}$ має тривіальні групу класів ідеалів і групу оборотних елементів $\{\pm 1\}$, тож кожен ненульовий дробовий ідеал $\mathbb{Z}$ породжений єдиним додатним раціональним числом.

Абсолютна норма

Нехай $L$ — числове поле з кільцем цілих чисел ${𝒪}_L$ і $𝔞$ — ненульовий ідеал у ${𝒪}_L$. Абсолютна норма ідеалу $𝔞$ є рівною

$N(𝔞):=[{𝒪}_L:𝔞]=|{𝒪}_L/𝔞|.$

Норма нульового ідеалу вважається рівною нулю.

Якщо $𝔞=(a)$ є головним ідеалом, то $N(𝔞)=|N_{L/\mathbb{Q}}(a)|$.

Норма є цілком мультиплікативною: якщо $𝔞$ і $𝔟$ є ідеалами у ${𝒪}_L$, то $N(𝔞\cdot 𝔟)=N(𝔞)N(𝔟)$. Тому абсолютна норма у єдиний спосіб продовжується до гомоморфізму

$N:{ℐ}_{{𝒪}_L}\to {\mathbb{Q}}_{>0}^{\times },$

заданого для всіх ненульових дробових ідеалів кільця ${𝒪}_L$.

Норма ідеалу $𝔞$ задає верхню межу для норми деякого ненульового елемента ідеалу: завжди існує ненульовий $a\in 𝔞$ для якого

$|N_{L/\mathbb{Q}}(a)|\le {\left(\frac{2}{\pi }\right)}^s\sqrt{\left|D_L\right|}N(𝔞),$

де $D_L$ - дискримінант числового поля $L$ і $s$ є кількістю пар вкладень Шаблон:Math у $ℂ$, що не є дійсними.

Див. також

• Дискримінант (теорія полів)
• Норма (теорія полів)
• Диферентний ідеал
• Норма (теорія груп)

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation