Узагальнена послідовність

Узагальнена послідовність ( також послідовність Мура — Сміта, направленість, також сітка, мережа від англійської net) в загальній топології — узагальнення поняття послідовності у якому областю визначення є довільна направлена множина (а не лише натуральні числа, як для звичайної послідовності).

Значення цього узагальнення полягає в тому, що воно дозволяє для довільних топологічних просторів дати твердження еквівалентні твердженням класичного аналізу. Зокрема через поняття збіжності узагальнених послідовностей можна охарактеризувати неперервність функцій, замкнутість і компактність множин так як це робиться у математичному аналізі.

Означення

Узагальненою послідовністю в топологічному просторі $X$ називається відображення з деякої направленої по зростанню множини $\mathrm{A}$ в $X$. Для узагальнених послідовностей використовуються позначення: ${\left\{x_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}$ або просто $\left\{x_{\alpha }\right\}$.

Будь-яка послідовність є узагальненою послідовністю, в цьому випадку направленою множиною є множина натуральних чисел $\mathbb{N}$.

Інший приклад узагальненої послідовності можна отримати розглянувши системи околів точок топологічного простору. Для деякої точки $x$ топологічного простору система околів $B_x$ із відношенням включення є направленою множиною: для двох околів $U,V\in B_x$ маємо $U⩾V$, якщо $U\subset V$. Якщо у кожному околі $U\in B_x$ вибрати довільну точку $x_U\in U$, то відображення $U\mapsto x_U$ є узагальненою послідовністю.

Пов'язані означення

Границя узагальненої послідовності

Узагальнена послідовність ${\left\{x_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}$ називається збіжною до точки $x$, якщо для будь-якого околу $V$ точки $x$ існує індекс ${\alpha }_V\in \mathrm{A}$ такий, що $x_{\alpha }\in V$ для будь-якого $\alpha ⩾{\alpha }_V$. Точка $x$ називається границею узагальненої послідовності $\left\{x_{\alpha }\right\}$ і позначається $x_{\alpha }\underset{\mathrm{A}}{\overset{}{\to }}x$.

Множина всіх границь узагальненої послідовності $\left\{x_{\alpha }\right\}$ позначається як $\underset{\alpha \in \mathrm{A}}{\lim }{x}_{\alpha }$. Якщо узагальнена послідовність має точно одну границю $x$, то пишуть $x=\underset{\alpha \in \mathrm{A}}{\lim }{x}_{\alpha }$

Узагальнена підпослідовність

Поняття підпослідовності можна узагальнити для узагальнених послідовностей. Узагальнена послідовність ${\left\{y_{\beta }\right\}}_{\beta \in \mathrm{B}}$ називається узагальненою підпослідовністю узагальненої послідовності ${\left\{x_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in \mathrm{A}}$, якщо для будь-якого $\alpha \in \mathrm{A}$ існує такий індекс $\beta (\alpha )\in \mathrm{B}$, що для будь-якого ${\beta }^{\prime }⩾\beta (\alpha )$ існує ${\alpha }^{\prime }⩾\alpha$, що задовольняє рівності $x_{{\alpha }^{\prime }}=y_{{\beta }^{\prime }}$.

Фундаментальна узагальнена послідовність

Фундаментальна узагальнена послідовність (або узагальнена послідовність Коші) є узагальненням звичайної фундаментальної послідовності для рівномірних топологічних просторів.

Узагальнена послідовність $\left\{x_{\alpha }\right\}$ називається фундаментальною, якщо для будь-якого оточення $V$ існує елемент $\gamma$, такий що для всіх $\alpha ,\beta ⩾\gamma$, елементи $(x_{\alpha },x_{\beta })\in V$.

Верхні і нижні границі узагальнених послідовностей

Для узагальненої послідовності $\left\{x_{\alpha }\right\}$ за означенням верхня границя є рівною

$\underset{\alpha }{\bar{\lim }}{x}_{\alpha }=\underset{\alpha }{\lim }\underset{\beta ⩾\alpha }{\sup }{x}_{\beta }=\underset{\alpha }{\inf }\underset{\beta ⩾\alpha }{\sup }{x}_{\beta }.$

Нижня границя за означенням є рівною:

$\underset{\alpha }{\underset{―}{\lim }}{x}_{\alpha }=\underset{\alpha }{\lim }\underset{\beta ⩾\alpha }{\inf }{x}_{\beta }=\underset{\alpha }{\sup }\underset{\beta ⩾\alpha }{\inf }{x}_{\beta }.$

Верхні і нижні границі узагальнених послідовностей задовольняють багато властивостей, що є справедливими для звичайних послідовностей. Наприклад:

$\underset{\alpha }{\bar{\lim }}(x_{\alpha }+y_{\alpha })⩽\underset{\alpha }{\bar{\lim }}{x}_{\alpha }+\underset{\alpha }{\bar{\lim }}{y}_{\alpha },$

і у випадку збіжності хоча б однієї узагальненої послідовності цей вираз перетворюється у рівність.

Властивості

• Нехай $E$ і $F$ — топологічні простори і $a\in E$. Відображення $f:E\to F$ є неперервною в точці $a$ тоді і тільки тоді, коли для будь-якої узагальненої послідовності $(x_{\alpha }{)}_{\alpha \in I}$, що збігається до $a$ у просторі $E$, узагальнена послідовність $(f(x_i){)}_{i\in I}$ збігається до точки $f(a)$ у просторі $F$.

Якщо $f$ є неперервною в точці $a$, то для кожного околу $V$ точки $f(a)$ у просторі $F$, множина $f^{-1}(V)$ є околом $a$ у $E$. Тому якщо $(x_{\alpha }{)}_{\alpha \in I}$ є узагальненою послідовністю, що збігається до точки $a$ у $E$ то існує $\alpha \in I$ для якого $x_{\beta }\in f^{-1}(V)$ для всіх $\beta \ge \alpha$, тобто $f(x_{\beta })\in V$, і $(f(x_{\alpha }){)}_{\alpha \in I}$ збігається до $f(a)$ у $F$.

Навпаки, припустимо, що $f$ не є неперервною в точці $a$ і позначимо $(ℱ,\supset )$ направлену систему околів точки $a$. Існує окіл $V$ точки $f(a)$ у $F$, такий що для всіх $U\in ℱ$, $f(U)\subset ̸V$. Оберемо точки $x_U\in U\cap \complement [f^{-1}(V)]$ для всіх $U\in ℱ$ (з використанням аксіоми вибору). Тоді $(x_U{)}_{U\in ℱ}$ збігається до $a$ в $E$ але $(f(x_U){)}_{U\in ℱ}$ не збігається до $f(a)$ у $F$.

• Якщо топологічний простір є гаусдорфовим, то кожна збіжна узагальнена послідовність має точно одну границю. Навпаки, якщо кожна збіжна узагальнена послідовність має точно одну границю, то простір є гаусдорфовим.

• Поняття границі узагальненої послідовності тісно пов'язане з поняттям точки дотику: точка є точкою дотику множини тоді і тільки тоді, коли існує збіжна до цієї точки узагальнена послідовність елементів цієї множини.

• Підмножина топологічного простору є замкнутою тоді і тільки тоді, коли для кожної збіжної узагальненої послідовності її елементів границя послідовності теж належить цій множині.

• Узагальнена послідовність є збіжною тоді і тільки тоді коли всі її узагальнені підпослідовності є збіжними. Границя узагальненої послідовності тоді є рівною границі будь-якої її підпослідовності.

• Топологічний простір є компактним тоді і тільки тоді, коли для кожної узагальненої послідовності його елементів існує збіжна узагальнена підпослідовність.

Нехай X є компактним. Якщо I є деякою множиною і $\{C_i{\}}_{i\in I}$ — сім'єю замкнутих підмножин X таких що $\bigcap _{i\in J}{C}_i\ne \mathrm{\varnothing }$ для кожної скінченної підмножини $J\subseteq I$. Тоді також $\bigcap _{i\in I}{C}_i\ne \mathrm{\varnothing }$. В іншому разі, $\{C_i^c{\}}_{i\in I}$ було б відкритим покриттям X для якого не існувало б скінченного підпокриття, що неможливо. Нехай A — направлена множина і $⟨x_{\alpha }{⟩}_{\alpha \in A}$ — узагальнена послідовність у X. Для всіх $\alpha \in A$ позначимо $E_{\alpha }\triangleq \{x_{\beta }:\beta \ge \alpha \}.$ Сім'я множин $\{\mathrm{cl}(E_{\alpha }):\alpha \in A\}$ має властивість, що довільна скінченна підмножина множин має непустий перетин. Тому також $\bigcap _{\alpha \in A}\mathrm{cl}(E_{\alpha })\ne \mathrm{\varnothing }$. Ця множина буде множиною точок дотику узагальненої послідовності $⟨x_{\alpha }{⟩}_{\alpha \in A}$, що є рівною точкам збіжності узагальнених підпослідовностей у $⟨x_{\alpha }{⟩}_{\alpha \in A}$. Тому $⟨x_{\alpha }{⟩}_{\alpha \in A}$ має збіжну узагальнену підпослідовність.

Навпаки припустимо, що кожна узагальнена послідовність у X має збіжну узагальнену підпослідовність. Припустимо, що $\{U_i:i\in I\}$ є відкритим покриттям X, що не містить скінченного підпокриття. Розглянемо $D\triangleq \{J\subset I:|J|<\mathrm{\infty }\}$. Тоді D є направленою множиною щодо включення і для кожної $C\in D$, існує $x_C\in X$ таке що $x_C\notin U_a$ для всіх $a\in C$. Розглянемо узагальнену послідовність $⟨x_C{⟩}_{C\in D}$. Для неї не існує збіжної узагальненої підпослідовності, тому що для всіх $x\in X$ існує $c\in I$ таке що $U_c$ є околом x;проте для всіх $B\supseteq \{c\}$, маємо $x_B\notin U_c$. Ця суперечність завершує доведення.

Див. також

• Послідовність
• Фільтр (порядок)

Література

• Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 Шаблон:Ref-en
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book