Теорема Шотткі

У комплексному аналізі теорема Шотткі — один із класичних результатів так званої геометричної теорії функцій комплексної змінної, яка пов'язана з теоремами Блоха, Блоха — Ландау, Ландау і може використовуватися зокрема для доведення малої і великої теорем Пікара.

Твердження теореми

Нехай функція $f(z)$ є голоморфною у крузі $|z|<1$ і не рівною в ньому $0$ і $1$. Тоді справедливою є нерівність $|f(z)|<\mathrm{\Omega }[f(0),r]$, де функція $\mathrm{\Omega }$ залежить тільки від $f(0)$ і $r=|z|$ і, відповідно, не залежить від конкретної функції.

Доведення

Доведення має багато спільного з доведенням теореми Ландау і тут використовуються ті ж позначення.

Розглянемо функцію $f(z)$, голоморфну всередині круга $|z|<1$, що не є рівною в цьому крузі 0 і 1. Введемо допоміжну функцію

$F(z)=\ln \left(\sqrt{\frac{\ln f(z)}{2\pi i}-\frac{\ln f(z)}{2\pi }-1}\right)$.

Навпаки отримаємо:

$f(z)=-e^{\frac{\pi i}{2}(e^{2F(z)}+e^{-2F(z)})}$.

Розглянемо також функцію

$\phi (\xi )=-\frac{F(z+(1-r)\xi )-F(z)}{(1-r)F^{\prime }(z)}=\xi +\dots$

де $|z|=r$.

Ця функція буде голоморфною функцією змінної $\xi$ всередині круга $|\xi |<1$, і також $\phi (0)=0,{\phi }^{\prime }(0)=1.$

Згідно теореми Блоха для цієї функції існує круг з центром в деякій точці площини радіуса $B_1$, що не залежить від конкретної функції, який повністю належить її області значень. Отже, для функції $F$ існує круг з центром в деякій точці радіуса $B_1(1-r)|F^{\prime }(z)|$, що належить області значень функції $F(z+(1-r)\xi )$ при $|\xi |<1$, а тим більше значеннями $F(\xi )$ при, $|\xi |<1$. Так як, з іншого боку, функція $F(\xi )$ при $|\xi |<1$ не дорівнює числам множини $E$, в доведенні теореми Ландау то має місце нерівність $B_1(1-r)|F^{\prime }(z)|<b$ де $b$, як і в доведенні теореми Ландау є абсолютною константою, більшою відстані будь-якої точки комплексної площини до множини точок $E$. Останню нерівність перепишемо у вигляді

$|F^{\prime }(z)|<\frac{b}{B_1}\frac{1}{1-r}$.

Ця нерівність виведена в припущенні $F^{\prime }(z)\ne 0$, але в разі $F^{\prime }(z)=0$ вона є очевидною. Отже, нерівність справедливо для всіх $z,|z|=r<1.$.

Відзначимо очевидну тотожність

$F(z)=F(0)+\underset{0}{\overset{z}{\int }}{F}^{\prime }(t)dt$.

Оскільки

$|F^{\prime }(t)|<\frac{b}{B_1}\frac{1}{1-|t|}⩽\frac{b}{B_1}\frac{1}{1-r}$ при $|t|⩽r=|z|$

то вважаючи за шлях інтегрування прямолінійний відрізок довжини $r$, що з'єднує точки 0 і $z$, отримуємо з останньої тотожності нерівність $|F(z)|<|F(0)|+\frac{b}{B_1}\frac{1}{1-|t|}$

Повертаючись до даної функції $f(z)$, пов'язаної з $F(z)$ і користуючись останньою нерівністю, отримаємо: $|f(z)|<L(F(0),r)$, або, помічаючи, що $F(0)$ виражається через $f(0)$, остаточно знаходимо: $|f(z)|<\mathrm{\Omega }(f(0),r)$ де $\mathrm{\Omega }$ залежить тільки від $f(0)$ і $r=|z|$.

Узагальнення і уточнення

Утвердженні теореми не вказано точного виду функції у правій стороні нерівності. Після доведення теореми було дано кілька різних варіантів обмежень, зокрема Ларс Альфорс довів таку нерівність

$\log |f(z)|\le \frac{1+|z|}{1-|z|}(7+\max (0,\log |f(0)|))$.

Існують узагальнення теореми для функцій у колі довільного радіуса, що не є рівними деякій скінченній множині комплексний чисел (при цьому мають також виконуватися умови теореми Ландау).

Див. також

• Теорема Блоха (комплексний аналіз)
• Теорема Ландау
• Теорема Пікара

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book