Теорема Ландау

У комплексному аналізі теорема Ландау — один із класичних результатів так званої геометричної теорії функцій комплексної змінної, яка пов'язана з теоремами Блоха, Блоха — Ландау, Шотткі і може використовуватися зокрема для доведення малої теореми Пікара — одного з найвідоміших тверджень комплексного аналізу.

Твердження теореми

Якщо $f (z)$ є голоморфною функцією всередині круга $| z | < R$ , що не є рівною в цьому крузі 0 і 1 і $f (0) = α, f^{'} (0) = β$ , то має місце нерівність $R < Ω (α, β$ ), де $Ω (α, β)$ залежить тільки від $α$ і $β$ і не залежить від самої функції.

Доведення

Розглянемо спершу функцію $w = f (z)$ , голоморфну всередині круга $| z | < 1$ , що не є рівною 0 і 1 в цьому крузі. Побудуємо допоміжну функцію

F (z) = \ln (\sqrt{\frac{\ln f (z)}{2 π i} - \frac{\ln f (z)}{2 π} - 1})

Ця функція $F (z)$ буде голоморфною всередині круга $| z | < 1$ , оскільки функція $f (z)$ в цьому крузі не дорівнює нулю і не дорівнює одиниці. Крім того, функція $F (z)$ не є рівною числам виду $\pm \ln (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}) + 2 m π i$ , де $n$ — натуральне число, $m$ — будь-яке ціле число. Позначимо множину цих точок $E$ .

Справді, розв'язуючи рівняння для $F (z)$ щодо $f (z)$ , знайдемо:

f (z) = - e^{\frac{π i}{2} (e^{2 F (z)} + e^{- 2 F (z)})}

і, отже, вважаючи $F (z)$ рівним будь-якому значенню з множини $E$ , мали б $f (z) = 1$ , що неможливо.

Кожна точка комплексної площини знаходиться від множини $E$ (тобто від найближчої точки цієї множини) на відстані, меншій $b$ , де $b$ — деяка константа, що безпосередньо випливає з рівностей

- \ln (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}) = \frac{1}{\ln (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1})} = \ln (\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}) \to \infty

і

\ln (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}) - \ln (\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}) = \ln \frac{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} \to 0

.

Припускаючи $F^{'} (0) \neq 0$ , розглянемо функцію:

\frac{F (z) - F (0)}{F^{'} (0)} = z + a_{2} z^{2} + \dots

.

Згідно теореми Блоха для цієї функції існує круг з центром в деякій точці деякого радіуса $B_{1}$ , що не залежить від конкретної функції і всі точки якого є значеннями цієї функції. Отже, для функції $F (z)$ буде існувати круг з центром у деякій точці радіуса $B_{1} | F^{'} (0) |$ , всі точки якого є значеннями функції $F (z)$ . Оскільки цей круг не може містити точок множини $E$ , то повинна виконуватись нерівність

B_{1} | F^{'} (0) | < b

Зрозуміло, що якщо $F^{'} (0) = 0$ , то це нерівність теж є справедливою.

Отже, маємо:

| F^{'} (0) | < b < \frac{b}{B_{1}} = C_{1}

де $C_{1}$ — константа, яка не залежить від функції $F (z)$ . Повертаючись до даної функції $f (z)$ , з виразу цієї функції через $F (z)$ і попередньої нерівності отримаємо:

| f^{'} (0) | < L (f (0))

,

де $L$ — деяка функція, що не залежить від функції $f$ .

Тепер для функції в умовах теореми введемо функцію $φ (z) = f (R z)$ . Функцію $φ (z)$ є голоморфною при $| z | < 1$ і не рівною в цьому крузі 0 і 1. Застосовуючи до цієї функції останню доведену нерівність, отримуємо: $| φ^{'} (0) | < L (φ (0))$ або, повертаючись до даної функції $f (z)$ , $R | f^{'} (0) | < L (f (0))$ або $R < \frac{L (f (0))}{| f^{'} (0) |}$ звідки випливає: $R < Ω (α, β)$ де $Ω (α, β) = \frac{L (α)}{| β |}$ .