Тест Соловея — Штрассена

Тест Соловея — Штрассена — імовірнісний тест простоти, відкритий у 1970-х роках Робертом Мартіном Соловеем спільно з Фолькером Штрассеном. Тест завжди коректно визначає, що просте число є простим, але для складених чисел з деякою ймовірністю він може дати неправильну відповідь. Основна перевага тесту полягає в тому, що він, на відміну від тесту Ферма, розпізнає числа Кармайкла як складені.

Історія

У 17 столітті Ферма довів твердження, назване пізніше малою теоремою Ферма, що слугує основою тесту Ферма на простоту:

Якщо n — просте і a не ділиться на n, то $a^{n-1}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$.

Ця перевірка для заданого n не вимагає великих обчислень, однак твердження, протилежне цьому, є невірним. Так, існують числа Кармайкла, які є складеними, для яких твердження, наведене в малій теоремі Ферма, виконується для всіх цілих чисел взаємнопростих з заданим числом. У 1994 році було показано, що таких чисел нескінченно багато. У зв'язку з виявленим недоліком тесту Ферма, актуальності набуло завдання збільшення достовірності ймовірнісних тестів. Першим тест, що відсіює числа Кармайкла як складені, запропонував Леманн. Цей недолік відсутній також у тестах Соловея — Штрассена і Міллера — Рабіна за рахунок більш сильного критерію відсіву, ніж мала теорема Ферма. Незалежно від один одного Д. Лемер в 1976 році і Р. Соловей спільно з Ф. Штрассеном в 1977 році довели, що аналога чисел Кармайкла, які є складеними і одночасно ейлеровими псевдопростими, немає.Шаблон:Sfn На основі цього і був запропонований тест Соловея — Штрассена на простоту, він був опублікований в 1977 році, доповнення до нього в 1978 році.

Обґрунтування

Тест Соловея — Штрассена спирається на малу теорему Ферма і властивості символу ЯкобіШаблон:Sfn:

• Якщо n — непарне складене число, то кількість цілих чисел a, взаємнопростих з n і менших n, що задовольняють порівнянню $a^{(n-1)/2}\equiv \left(\frac{a}{n}\right)(\mathrm{mod}n)$не перевищує $\frac{n}{2}$.

Складені числа n, що задовольняють цьому порівнянню називаються псевдопростими Ейлера-Якобі за основою a.

Алгоритм Соловея — Штрассена

Алгоритм Соловея — ШтрассенаШаблон:Sfn параметризується кількістю ітерацій k. У кожній ітерації випадковим чином вибирається число a < n. Якщо НСД(a,n) > 1, то виноситься рішення, що n - складене. Інакше перевіряється справедливість порівняння $a^{(n-1)/2}\equiv \left(\frac{a}{n}\right)(\mathrm{mod}n)$. Якщо воно не виконується, то виноситься рішення, що n — складене. Якщо це порівняння виконується, то a є свідком простоти числа n. Далі вибирається інше випадкове a і процедура повторюється. Після знаходження k свідків простоти в k ітераціях виноситься висновок, що n є простим числом з імовірністю $1-2^{-k}$.

На псевдокоді алгоритм може бути записаний наступним чином:

 Ввід: $n$ > 2, непарне натуральне число, що тестується;
      $k$, параметр, що визначає точність тесту.
Вивід: складене, означає, що $n$ точно складене;
       ймовірно просте, означає, що $n$ ймовірно є простим.

for i = 1, 2, ..., $k$:
   $a$ = випадкове ціле від 2 до $n-1$, включно;
   якщо НСД(a, n) > 1, тоді:
       вивести, що $n$ — складене, і зупинитися.
   якщо $a^{(n-1)/2}\equiv ̸\left(\frac{a}{n}\right)(\mathrm{mod}n)$, тоді: 
       вивести, що $n$ — складене, і зупинитися.

інакше вивести, що $n$ — просте  зі ймовірністю $1-2^{-k}$, і зупинитися.

Приклад застосування алгоритму

Перевіримо число n = 19 на простоту. Виберемо параметр точності k = 2.

 k = 1
 Виберемо довільне число a = 11; 2 < a < n - 1
 Перевіримо умову НСД(a,n)>1
 НСД(11,19)=1; отже, перевіряємо виконання порівняння $a^{(n-1)/2}\equiv \left(\frac{a}{n}\right)(\mathrm{mod}n)$  
 $r=\left(\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{11}{19}\right)=1$
 $s=a^{(n-1)/2}=11^{(19-1)/2}(\mathrm{mod}19)=1$
 Отримали, що $r=s$, тому переходимо до наступної ітерації

 k = 2
 Виберемо довільне число a = 5; 2 < a < n - 1
 Перевіримо умову НСД(a,n)>1
 НСД(5,19)=1; отже, перевіряємо виконання порівняння $a^{(n-1)/2}\equiv \left(\frac{a}{n}\right)(\mathrm{mod}n)$  
 $r=\left(\frac{a}{n}\right)=\left(\frac{5}{19}\right)=1$
 $s=a^{(n-1)/2}=5^{(19-1)/2}(\mathrm{mod}19)=1$
 $r=s$ і це була остання ітерація, звідси робимо висновок, що 19 - просте число з імовірністю $1-2^{-2}$

Обчислювальна складність і точність

• Точність у порівнянні з іншими ймовірнісними тестами на простоту (тут k — число незалежних ітерацій)

назва тесту	ймовірність (що число складене)	примітки
Ферма	$2^{-k}$	не розпізнає числа Кармайкла як складені
Леманна	$2^{-k}$
Соловея — Штрассена	$2^{-k}$

• Теоретична складність обчислень всіх наведених у таблиці тестів оцінюється як $O({\log }^{3}n)$.Шаблон:Sfn
• Алгоритм вимагає $O(k{\log }_{2}m)$ операцій над довгими цілими числами.
• При реалізації алгоритму, для зниження обчислювальної складності, числа a вибираються з інтервалу 0 < a < c < n, де c — константа рівна максимально можливому значенню натурального числа, що міститься в одному регістрі процесора.Шаблон:Sfn

Застосування

Ймовірнісні тести застосовуються в системах заснованих на проблемі факторизації, наприклад RSA або схема Рабіна. Однак на практиці ступінь достовірності тесту Соловея — Штрассена не є достатньою, замість нього використовується тест Міллера — Рабіна. Більш того, використовуються об'єднані алгоритми, наприклад пробний поділ і тест Міллера — Рабіна, при правильному виборі параметрів можна отримати кращі результати, ніж при застосуванні кожного тесту окремо.

Поліпшення тесту

У 2005 році на Міжнародній конференції Bit+ «Informational Technologies -2005» А. А. Балабанов, А. Ф. Агафонов, В. А. Рику запропонували модернізований тест Соловея — Штрассена. Тест Соловея — Штрассена заснований на обчисленні символу Якобі, що займає час, еквівалентний ${\log }_{2}n$. Ідея поліпшення полягає в тому, щоб у відповідності з теоремою квадратичного закону взаємності Гаусса, перейти до обчислення величини $\left(\frac{n}{a}\right)$,що є оберненою символу Якобі, що є більш простою процедурою..

Див. також

• Псевдопросте число

Література

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга
3. Шаблон:Книга
4. Шаблон:Книга