Ланцюг Паппа Александрійського

Ланцюг Паппа Александрійського

Ланцюг Паппа Александрійського — кільце всередині двох дотичних кругів, заповнених попарно дотичними кругами менших діаметрів. Досліджена Паппом Александрійським у III столітті н. е.

Побудова

Беремо точки $A,B,C$ у такому порядку на одній прямій та побудуємо кола $C_U$ та $C_V$ з діаметрами $AB$ та $AC$ відповідно, центри яких позначимо $U$ та $V$. Фігура, обмежена колами, схожа з арбелосом (але складається з двох дуг окружності замість трьох) та допускає ланцюг кіл, так як і у теоремі Паппа Александрійського. При цьому кожне коло з ланцюга дотикається окружності $C_U$ ззовні, окружності $C_V$ зсередини та двох сусідніх кіл ланцюга.

Властивості

• Центри $P_n$ кіл ланцюга розташовані на спільному еліпсі, фокусами якого є центри $U$ и $V$ кіл яка охоплює фігури, оскільки сума відстаней від центру n-го до точок $U$ та $V$ не залежить від n:

$\overline{{𝐏}_n𝐔}+\overline{{𝐏}_n𝐕}=(r_U+r_n)+(r_V-r_n)=r_U+r_V$

• Якщо $r=AC/AB$, то центр $P_n$ та радіус $r_n$ n-го кола ланцюга задаються формулами

$(x_n,y_n)=(\frac{r(1+r)}{2[n^2(1-r{)}^2+r]},\frac{nr(1-r)}{n^2(1-r{)}^2+r}),$

$r_n=\frac{(1-r)r}{2[n^2(1-r{)}^2+r]}$

Інверсія кола

Під певною інверсією, розташованої в точці A, чотири початкових кола з ланцюга Паппа перетворюються на стопку з чотирьох кіл, однакових за розміром, затиснуті між двома паралельними лініями. Це пояснює формулу висоти h_n = n d_n та той факт, що початкові точки дотику лежать на загальному колі.

Висота h_n центру n-го кола над основним діаметром ACB дорівнює n помножене на d_n. Це може бути показано за допомогою інверсії відносно кола з центром у дотичній точці A. Інверсія кола обирається таким чином, щоб перетнути n-те коло перпендикулярно, так щоб n-те коло відображалось само на себе. Два орбелосних кола, $C_U$ та $C_V$, перетворюються на паралельні лінії, що дотичні до зміщеного n-го кола; отже, інші кола ланцюга Паппа перетворюються на аналогічно затиснуті кола одного діаметру. Початкове коло $C_O$ та кінцеве коло $C_N$, кожне додають ½d_n до висоти h_n, тоді як кола C₁–C_n−1, кожне додає d_n. Сума цих висот дає рівняння h_n = n d_n.

Таку ж інверсію можна використати для того, щоб показати, що точки де кола ланцюга Паппа дотичні один до одного лежать на спільному колі. Як показано вище, інверсія відносно точки A перетворює арбелосні кола $C_U$ та $C_V$ на дві паралельні лінії, а кола ланцюга Паппа на купу рівних кіл затиснутих між двома паралельними лініями. Отже, точки дотику між перетвореними колами лежить на середині лінії між двома паралельними лініями. Обертаючи інверсію в колі, ця лінія дотичних точок перетворюється назад у коло.

Ланцюг Штейнера

У цих властивостях, що мають центри на еліпсі та точки дотику на колі, ланцюг Паппа аналогічний ланцюгу Штайнера, в якому скінченне число кіл дотикаються до двох кіл.

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Посилання

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Citeweb