Безкоаліційна гра

Гра безкоаліційна — гра, учасники якої, діючи ізольовано один від одного переслідують індивідуальні цілі.

Формально безкоаліційна гра може бути задана системою:

$\mathrm{\Gamma }=⟨I,\{s_i{\}}_{i\in I},\{H_i{\}}_{i\in I}⟩$,

де I — {1, 2, ..., n} — множина гравців, s_i — множина стратегій гравця i, а H_i — його функція виграшів, визначена на декартовому добутку S = s₁ × ... × s_n і яка приймає дійсні значення.

Приклад безкоаліційної гри

Як приклад можна навести гру Морра з трьома гравцями. Кожний із трьох гравців показує двом іншим один або два пальці. Якщо всі гравці показали однакову кількість пальців, то виграш кожного із гравців дорівнює 0. Якщо ж один із гравців показав кількість пальців, відмінну від показаних його партнерами, то він отримує 1, а два інших по -1/2.

Однією зі стратегій, які призводять до ситуацій рівноваги, є така змішана стратегія: кожний із гравців, з ймовірністю $\frac{1}{1+\sqrt{2}}$ показує один палець і з ймовірністю $\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ — два.

Розв'язки гри

Важливим принципом оптимальної поведінки гравців є принцип здійсненності мети, який приводить до ситуацій рівноваги. Ці ситуації, а також деякі їхні множини прийнято вважати розв'язками безкоаліційних ігор.

Ситуації рівноваги s і t називаються взаємозамінними, якщо будь-яка ситуація r = (r₁, ..., r_n), де r_i = s_i або r_i = t_i також рівноважна.

Вони називаються еквівалентними, якщо H_i(s) = H_i(t) для всіх i ∈ N.

Нехай Q — множина всіх ситуацій рівноваги, а Q&' — множина ситуацій рівноваги, оптимальних по Парето. Гра називається розв'язуваною по Нешу, якщо всі s ∈ Q еквівалентні і взаємозамінні.

Гра називається сильно розв'язуваною, якщо Q&' непорожнє і всі s ∈ Q&' еквівалентні та взаємозамінні.

Доведено, що безкоаліційна гра необов'язково має розв'язок по Нешу, але якщо вона його має, то цей розв'язок єдиний.

Існують інші підходи до визначення оптимальної поведінки в безкоаліційних іграх.

Безкоаліційні ігри

До безкоаліційних ігор належать

• Антагоністичні ігри (в тому числі, ігри на виживання),
• Ігри на одиничному квадраті,
• Динамічні ігри,
• Матричні ігри,
• Стохастичні ігри,

та деякі інші.

Джерела інформації

• Енциклопедія кібернетики, Ткаченко Г. П., т. 1, с. 336.

Див. також

• Оптимум Парето
• Гра кооперативна (протилежна безкоаліційній)