Теорема Веддерберна — Артіна

Теорема Веддерберна — Артіна — твердження у абстрактній алгебрі, що класифікує усі напівпрості артинові кільця. Згідно теореми вони всі є ізоморфними добуткам матричних груп над деякими тілами.

Означення

Кільце $R$ (тут всі кільця вважаються кільцями з одиницею) називається простим якщо $R \neq 1$ і $R$ не містить ідеалів окрім $0$ і $R$ .

Кільце $R$ називається лівим напівпростим кільцем якщо воно є напівпростим як лівий модуль над собою. Аналогічно можна дати означення правого напівпростого кільця.

Загалом просте кільце не є частковим випадком лівих напівпростих кілець; зокрема ліве напівпросте кільце є також правим напівпростим і (лівим і правим) артиновим кільцем. Натомість існують прості кільця, які не є артиновими. Проте додавши вимогу артиновості просте кільце буде і лівим і правим напівпростим.

Твердження для простих кілець

Для кільця $R$ наступні умови є еквівалентними:

R — просте і ліве артинове кільце;
R — ліве напівпросте ненульове кільце і всі прості ліві R-модулі є ізоморфними;
$R ≅ M_{n} (D)$ де $M_{n} (D)$ — кільце усіх матриць над деяким тілом $D$ і $n ⩾ 1$ ;
Для трьох попередній умов справедливими є їх правосторонні аналоги.

Крім того, число $n$ є однозначно визначеним і $D$ є єдиним з точністю до ізоморфізмів.

Доведення

(1) -> (2). Нехай $R c$ — мінімальний лівий ідеал $R$ . Зважаючи на простоту $R$ маємо $R = R c R = \sum R c a_{i}$ де $a_{i}$ є елементами $R$ . Лівий ідеал $R c a_{i}$ є образом $R c$ при гомоморфному відображенні $r c \to r c a_{i}$ тому, враховуючи мінімальність ідеалу $R c$ , або $R c a_{i} = 0$ або $R c a_{i}$ є ізоморфним $R c .$ Тому $R$ є сумою лівих ідеалів ізоморфних $R c$ і тому з властивостей напівпростих модулів $R$ є прямою сумою таких модулів, тобто є напівпростим. Крім того, будь-який простий лівий $R$ -модуль є ізоморфний як модуль фактору $R$ по лівому ідеалу, тож він є ізоморфним мінімальному лівому ідеалу.

(2) -> (3). оскільки $R$ є скінченнопородженим (елементом 1) лівим $R$ -модулем, і напівпростим згідно припущення, воно є прямою сумою скінченної кількості мінімальних лівих ідеалів, які є ізоморфними між собою. Візьмемо мінімальний лівий ідеал $U$ і припустимо що $R = U^{n}$ . Згідно леми Шура, $D = {End}_{R} (U)$ є тілом; Тоді ${End}_{R} (U^{n}) ≅ M_{n} (D)$ . Також ${End}_{R} (R) ≅ R$ оскільки для довільного такого гомоморфізму $ϕ (r) = ϕ (r \cdot 1) = r \cdot ϕ (1)$ , тобто ендоморфізм є множенням на елемент $ϕ (1)$ . Разом $R = M_{n} (D)$ , що і треба було довести.

Тут $n$ є однозначно визначеним як довжиною композиційного ряду підмодулів $R$ як лівого $R$ -модуля, а $D$ є єдиним з точністю до ізоморфізму як кільце ендоморфізмів єдиного типу простих лівих $R$ -модулів.

(3) => (1). $D_{n} = M_{n} (D)$ має скінченну розмірність як лівий $D$ -векторний простір; кожний лівий ідеал є підпростором, тому умова спадних ланцюгів ідеалів виконується і $D_{n}$ є лівим артіновим модулем. Щоб довести, що $D_{n}$ є простим модулем, візьмемо будь-який $a = (a_{i j}) \neq 0$ , наприклад $a_{r s} \neq 0$ . Тоді $e_{i r} a e_{s j} a_{r s}^{- l} = e_{i j}$ , тож ідеал породжений $a$ містить всі $e_{i j}$ і тому є рівним $D_{n}$ . Це показує, що $D_{n}$ є простим кільцем.

Оскільки умова (3) є симетричною щодо лівих 1 правих ідеалів , (1) і (2) також виконуються для правих ідеалів.

Твердження для напівпростих кілець

Усі ліві напівпрості кільця є скінченними добутками повних матричних кілець над тілами: $M_{n_{1}} (D_{1}) \times M_{n_{2}} (D_{2}) \times \dots \times M_{n_{r}} (D_{r})$ , де $n_{i}$ і типи ізоморфізму $D_{i}$ однозначно визначаються $R$ . Навпаки, кожне кільце такого виду є напівпростим. Зокрема, кожне ліве напівпросте кільце є правим напівпростим і (лівим і правим) артіновим.

Крім того, два мінімальні ліві ідеали у $R$ є ізоморфними якщо і тільки якщо вони належать одному множнику у цьому розкладі.

Доведення

Оскільки $R$ є лівим напівпростим і є скінченнопородженим як лівий ідеал, то $R = H_{1} \oplus \dots \oplus H_{r}$ де $H_{i} ≅ I_{i}^{n_{i}}$ і $I_{i}$ є мінімальними лівими ідеалами, що є неізоморфними для різних індексів. Згідно леми Шура, ${End}_{R} I_{i} = D_{i}$ є тілом, а ${End}_{R} (I_{i}, I_{j}) = 0, i \neq j$ . Тоді також ${End}_{R} (H_{i}) = M_{n_{i}} (D_{i})$ . Оскільки всі $H_{i}$ є сумами мінімальних лівих ідеалів з властивостей напівпростих модулів маємо $R ≅ {End}_{R} (R) ≅ \prod M_{n_{i}} (D_{i})$ . Тут $n$ , і тип ізоморфізму $D$ , визначаються типом компоненти $H_{i}$ .

Навпаки, для будь-якого тіла $D$ і довільного $n ⩾ 1$ , маємо $M_{n} (D) ≅ I^{n}$ , де $I$ є мінімальним лівим $D$ -модулем, представленим, наприклад, стовпцем матричного кільця $M_{n} (D)$ . Тож $\prod M_{n_{i}} (D) ≅ \oplus I^{n_{i}}$ є лівим напівпростим. Воно має скінченну довжину композиційного ряду і тому є лівим артиновим. Зважаючи на симетрію матричного кільця воно є також правим напівпростим і правим артіновим.

Див. також

Напівпростий модуль

Література

Теорема Веддерберна — Артіна

Зміст

Означення

Твердження для простих кілець

Доведення

Твердження для напівпростих кілець

Доведення

Див. також

Література

Навігаційне меню

Теорема Веддерберна — Артіна

Означення

Твердження для простих кілець

Доведення

Твердження для напівпростих кілець

Доведення

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук