Мінімальний простий ідеал

В абстрактній алгебрі простий ідеал P називається мінімальним простим ідеалом над ідеалом I якщо він є мінімальним (щодо включення) простим ідеалом, що містить I. Зокрема якщо I є простим ідеалом, то I є єдиним мінімальним простим ідеалом над собою. Простий ідеал називається мінімальним простим ідеалом якщо він є мінімальним простим ідеалом над нульовим ідеалом.

Приклади

• В комутативному кільці Артіна довільний максимальний ідеал є мінімальним простим ідеалом.
• В області цілісності єдиним мінімальним простим ідеалом є нульовий ідеал.
• В кільці цілих чисел Z, мінімальними простими ідеалами, що містять головний ідеал (n) є головні ідеали (p), де p є простими дільниками n. Єдиним мінімальним простим ідеалом є сам нульовий ідеал, оскільки цілі числа є областю цілісності. Подібні твердження справедливі і для довільного кільця головних ідеалів.
• Якщо I є p-примарним ідеалом (наприклад степінь p), доді p є єдиним мінімальним простим ідеалом над I.
• Ідеали $(x)$ і $(y)$ є мінімальними простими ідеалами в кільці $ℂ[x,y]/(xy)$ оскільки вони містять нульовий ідеал (який не є простим, оскільки $x\cdot y=0\in (0)$, але ні $x$ ні $y$ не є елементами нульового ідеалу) і не містяться в жодному іншому простому ідеалу.
• В кільці $ℂ[x,y,z]$ мінімальними простими ідеалами над ідеалом $((x^3-y^3-z^3{)}^4(x^5+y^5+z^5{)}^3)$ є ідеали $(x^3-y^3-z^3)$ і $(x^5+y^5+z^5)$.

Властивості

Всі ідеали нижче вважаються комутативними і містять одиничний елемент.

• Кожен власний ідеал I в кільці має хоча б один мінімальний простий ідеал над I. Доведення є типовим використанням леми Цорна. Будь-який максимальний ідеал, що містить I є простим тому множина простих ідеалів, що містять I є непустою. Перетин спадної послідовності простих ідеалів є простим ідеалом. Тому згідно леми Цорна множина простих ідеалів, що містять I має мінімальний елемент, що є мінімальним простим ідеалом над I.
• В нетеровому кільці, над кожним ідеалом є лише скінченна кількість мінімальних простих ідеалів.

Позначимо $ℱ$ множину всіх ідеалів $I$ нетерового кільця $R$ для яких множина всіх мінімальних простих ідеалів $Min(I)$ є нескінченною. Припустимо, що $ℱ\ne \mathrm{\varnothing }$ . Тоді ця множина має максимальний елемент $I$.

Ідеал $I$ очевидно не є простим і тому $\mathrm{\exists }a,b\in ̸I:ab\in I$. Оскільки $R$ є нетеровим кільцем то кожен його ідеал є скінченнопородженим і зокрема $I=(r_1,\dots ,r_n).$

Позначимо $J_1=(r_1,\dots ,r_n,a)$, $J_2=(r_1,\dots ,r_n,b).$ Тоді $I\subset J_1,I\subset J_2$ і також $J_1{J}_2\subset I.$ Оскільки $I$ є максимальним елементом у $ℱ$ то множини $Min(J_1)$ і $Min(J_2)$ є скінченними.

Нехай тепер $P\in Min(I)$, і оскільки $ab\in I\subset P$ і $P$ є простим ідеалом, то $a\in P$ або $b\in P.$ Звідси за означеннями $J_1\subset P$ або $J_2\subset P$. Тобто $P$ належить $Min(J_1)$ або $Min(J_2).$ Як наслідок $Min(J_1)$ або $Min(J_2)$ має бути нескінченною множиною. Але це суперечить максимальності ідеалу $I$ і завершує доведення.

• Радикал ідеалу $\sqrt{I}$ є рівним перетину мінімальних простих ідеалів над I.
• Нехай $𝔭$ — мінімальний простий ідеал кільця $R$. Кожен елемент максимального ідеалу локалізації $R_{𝔭}$ є нільпотентним. Якщо $R$ є редукованим кільцем, то $R_{𝔭}$ є полем.

Якщо $x\in 𝔭R_{𝔭}$ не є нільпотентним то існує простий ідеал кільця $R_{𝔭}$, що не містить $x$ (оскільки перетин простих ідеалів є рівним нільрадикалу). Але тоді у $R$ існує простий ідеал, що є власною підмножиною $𝔭$ і це суперечить мінімальності останнього. Якщо $R$ є редукованим кільцем, то таким є і $R_{𝔭},$ тобто єдиним нільпотентним елементом є 0 і з попереднього $𝔭R_{𝔭}=0.$ Тобто $R_{𝔭}$ є полем.

• Усі елементи довільного мінімального простого ідеалу є дільниками нуля. Якщо кільце є редукованим, то навпаки кожен дільник нуля є елементом деякого мінімального простого ідеалу.

Нехай $𝔭$ мінімальний простий ідеал кільця $R$. Розглянемо мультиплікативну множину $\mathrm{S}$ породжену множинами $R\setminus 𝔭$ і $R\setminus Z,$ де $\mathrm{Z}$ є множиною всіх дільників нуля у $R$ (включно і з $0).$ Тоді $\mathrm{0}\mathrm{\in ̸}\mathrm{S}$ (якщо $\mathrm{0}\mathrm{=}\mathrm{a}\mathrm{b},$ $\mathrm{a}\mathrm{\in }\mathrm{R}\mathrm{\setminus }𝔭,$ $\mathrm{b}\mathrm{\in }\mathrm{R}\mathrm{\setminus }\mathrm{Z}$ то мало б бути $\mathrm{\Rightarrow }\mathrm{b}\mathrm{\in }\mathrm{Z}\mathrm{)}\mathrm{.}$ Тому існує ідеал $\mathrm{Q}$ який є максимальний з ідеалів, що не містить $\mathrm{S}\mathrm{.}$ До того ж $\mathrm{Q}$ є простим (теорема віддільності у статті Простий ідеал). Але $\mathrm{S}\mathrm{\supset }\mathrm{R}\mathrm{\setminus }𝔭\mathrm{\cup }\mathrm{R}\mathrm{\setminus }\mathrm{Z}$ тому $Q\subset 𝔭\cap Z,$ і з мінімальності $𝔭$ випливає, що $𝔭\mathrm{=}\mathrm{Q}\mathrm{\subset }\mathrm{Z},$ тобто всі елементи $𝔭$ є дільниками нуля.

Для редукованого кільця $R$ якщо xy = 0 і $y\ne ̸0,$ то існує мінімальний простий ідеал $𝔭$ якому не належить y. Тоді $x\in 𝔭.$

• Простий ідеал $𝔭$ кільця R є єдиним мінімальним простим ідеалом над ідеалом I якщо і тільки якщо $\sqrt{I}=𝔭$. Ідеал I є $𝔭$-примарним якщо $𝔭$ є максимальним. За допомогою цього можна отримати локальний критерій: простий ідеал $𝔭$ є мінімальним простим над I якщо і тільки якщо $I{R}_{𝔭}$ є $𝔭R_{𝔭}$-примарним ідеалом. Якщо R є нетеровим кільцем, $𝔭$ є мінімальним простим над I якщо і тільки якщо $R_{𝔭}/I{R}_{𝔭}$ є кільцем Артіна. Прообраз $I{R}_{𝔭}$ при гомоморфізмі $R\to R_{𝔭}$ є примарним ідеалом кільця $R$ який називається $𝔭$-примарною компонентою ідеалу I.

Див. також

• Висота (теорія кілець)
• Простий ідеал

Посилання

• http://stacks.math.columbia.edu/tag/035E Шаблон:Webarchive
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/035P Шаблон:Webarchive

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation