Рівняння вихору

Рівняння вихору у гідроаеродинаміці описує розгортання завихореності Шаблон:Math частини рідини, яка рухається з потоком, тобто, описує завихореність локально (в термінах векторного обчислення це ротор швидкості потоку).

Рівняння вихору (рівняння еволюції вихору) — диференціальне рівняння з частинними похідними, яке описує еволюцію у просторі та часі вихору швидкості потоку рідини або газу. Вихор швидкості (завихореність) — це ротор швидкості. Рівняння вихору використовується в таких областях: гідродинаміка, геофізична гідродинаміка, астрофізична гідродинаміка, у обчисленні прогнозу погоди.

Рівняння вихору має такий вигляд:

$\begin{array}{cc}\frac{D\mathit{\omega }}{Dt}& =\frac{\partial \mathit{\omega }}{\partial t}+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })\mathit{\omega }\\ & =(\mathit{\omega }\cdot \mathrm{\nabla })𝐮-\mathit{\omega }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+\frac{1}{{\rho }^2}\mathrm{\nabla }\rho \times \mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{\mathrm{\nabla }\cdot \tau }{\rho }\right)+\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{B}{\rho }\right)\end{array}$

де Шаблон:Math — похідна Лагранжа, Шаблон:Math — швидкість потоку, ρ — це локальна щільність рідини, p — локальний тиск, τ — це тензор в'язких напружень та Шаблон:Math — позначає суму зовнішніх сил. Перший вираз правої частини означає розтягування вихору.

Рівняння є справедливе при відсутності будь-яких концентрованих крутних моментів та лінійних сил, для стисливої ньютонівської рідини.

У випадку нестисливої (тобто, малих значень числа Маха) та ізотропної рідини, з консервативними силами, рівняння спрощується до транспортного рівняння вихору

$\frac{D\mathit{\omega }}{Dt}=(\mathit{\omega }\cdot \mathrm{\nabla })𝐮+\nu {\mathrm{\nabla }}^2\mathit{\omega }$

де ν — кінематична в'язкість, а Шаблон:Math — оператор Лапласа.

Фізична інтерпретація

• Вираз Шаблон:Math — у лівій частині похідна Лагранжа вектору вихору Шаблон:Math. Описує швидкість зміни руху завихореності частини рідини. Ця зміна може бути пов'язана з нестійкістю в потоці (Шаблон:Math, нестаціонарний вираз) рухом частини рідини від однієї точки до іншої (Шаблон:Math, вираз конвекції).
• Вираз Шаблон:Math у правій частині описує розтягування або нахил вихору за рахунок градієнту швидкості потоку. Зауважимо, що Шаблон:Math — це тензор другого порядку з 9 компонентами.
• Вираз Шаблон:Math описує розтягування вихору з точки зору стисливості процесу. Це випливає з рівняння Нав'є-Стокса для забезпечення безперервності, а саме

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot \left(\rho 𝐮\right)=0$

або

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮=-\frac{1}{\rho }\frac{d\rho }{dt}=\frac{1}{v}\frac{dv}{dt}$

де Шаблон:Math  - це питомий об'єм елементів рідини, Шаблон:Math — міра стисливості потоку. Іноді у виразі можуть бути від'ємні значення.

• Вираз Шаблон:Math — баротропний вираз. Це зміна в завихореності через перетин щільності і тиску поверхонь.
• У виразі Шаблон:Math обраховується дифузія внаслідок ефекту в'язкості.
• Вираз Шаблон:Math передбачає зміни за рахунок зовнішніх сил. Це сили, які поширюються у тривимірній області поточного середовища, наприклад, гравітація або електромагнітні сили. 

Спрощення

• У випадку консервативних сил, Шаблон:Math.
• Для баротропних рідини, Шаблон:Math. Це також вірно і для постійної щільності рідини (в тому числі нестисливої рідини) де Шаблон:Math. Зауважимо, що це не те ж саме, що й у випадку нестисливої рідини, для якої баротропним виразом не можна знехтувати.
• Для нев'язкої рідини, тензор в'язкості τ дорівнює нулю.

Таким чином, для нев'язкої, баротропної рідини з консервативними силами рівняння вихору спрощується до такого вигляду:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\mathit{\omega }}{\rho }\right)=\left(\frac{\mathit{\omega }}{\rho }\right)\cdot \mathrm{\nabla }𝐮$

З іншого боку, в разі нестисливої нев'язкої рідини з консервативними силами,

$\frac{d\mathit{\omega }}{dt}=(\mathit{\omega }\cdot \mathrm{\nabla })𝐮$

Для короткого огляду інших випадків і спрощень, див. також.

Походження

Рівняння вихору може бути отримано з рівнянь Нав'є-Стокса для консервативного моменту імпульсу. За відсутності будь-яких концентрованих крутних моментів і лінійних сил, отримаємо

$\frac{D𝐮}{Dt}=\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐮=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+𝐁+\frac{\mathrm{\nabla }\cdot \tau }{\rho }$

Тут, завихореність визначається як ротор вектора швидкості потоку. Знаходження ротора дає шукане рівняння.

Наступні тотожності є корисними при виводі рівняння:

$\begin{array}{cc}& \mathit{\omega }=\mathrm{\nabla }\times 𝐮\\ & (𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐮=\mathrm{\nabla }(\frac{1}{2}𝐮\cdot 𝐮)-𝐮\times \mathit{\omega }\\ & \mathrm{\nabla }\times (𝐮\times \mathit{\omega })=-\mathit{\omega }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐮)+(\mathit{\omega }\cdot \mathrm{\nabla })𝐮-(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })\mathit{\omega }\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\omega }=0\\ & \mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\varphi =0\end{array}$

(де ϕ — будь-яке поле скалярів).

Позначення тензору

Рівняння вихору може виразити за допомогою позначень тензору, використовуючи нотація ейнштейна та Символ Леві-Чивіти e_ijk:

$\begin{array}{cc}\frac{D{\omega }_i}{Dt}& =\frac{\partial {\omega }_i}{\partial t}+v_j\frac{\partial {\omega }_i}{\partial x_j}\\ & ={\omega }_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}-{\omega }_i\frac{\partial v_j}{\partial x_j}+e_{ijk}\frac{1}{{\rho }^2}\frac{\partial \rho }{\partial x_j}\frac{\partial p}{\partial x_k}+e_{ijk}\frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{1}{\rho }\frac{\partial {\tau }_{km}}{\partial x_m}\right)+e_{ijk}\frac{\partial B_k}{\partial x_j}\end{array}$

Спеціальні (конкретні науки)

Науки про атмосферу

В науках про атмосферу, рівняння вихору може бути сформульоване в термінах абсолютної завихореності повітря по відношенню до інерціальної системі відліку, або завихореності по відношенню до обертання Землі. Абсолютна версія є такою

$\frac{d\eta }{dt}=-\eta {\mathrm{\nabla }}_h\cdot {𝐯}_h-(\frac{\partial \omega }{\partial x}\frac{\partial v}{\partial z}-\frac{\partial \omega }{\partial y}\frac{\partial u}{\partial z})-\frac{1}{{\rho }^2}𝐤\cdot ({\mathrm{\nabla }}_{h}p\times {\mathrm{\nabla }}_h\rho )$

Тут, η полярний (z) компонент вихору, ρ — щільність атмосфери, u, v, та ω компоненти швидкості вітру, та Шаблон:Math двовимірний оператор Гамільтона.

Рівняння Фрідмана

В загальному випадку рух ньютонівської рідини підпорядковується рівнянням Нав'є-Стокса. На відміну від форми рівняння Ейлера для нестисливої рідини, в ньому враховуються ефекти стисливості та внутрішнього тертя. Застосовуючи до рівняння Нав'є-Стоксадиференціальний оператор rot  ми отримаємо рівняння Фрідмана.

Рівняння вихору турбулентної рідини
Рівняння Фрідмана застосовується до турбулентних течій. Але в такому випадку, всі вхідні в нього величини повинні розумітися як усереднені (в сенсі О. Рейнольдса). Однак, слід мати на увазі, що таке узагальнення тут є недостатньо точним. Справа в тому, що при виводі рівняння Фрідмана не брався до уваги (через відносно мале значення) вектор щільності турбулентного імпульсу, де межа зверху — знак усереднення, штрих — відхилення від середнього. Ця обставина полягає в тому, що рівняння Фрідмана не може пояснити явище циклу індексу, в якому спостерігається зворотній баротропний обмін енергією і кутовим моментом(момент імпульсу) між упорядкованим і турбулентним рухами. 

Див. також

• Рівняння Нав'є-Стокса
• RANS
• Гідродинаміка
• Тиск
• Момент імпульсу

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Посилання

• Збірник задач з теоретичної механіки. Львів-2011.ЛНУ імені Івана Франка