Рівняння Релея — Плессета

Рівняння Релея-Плессета часто застосовуються для вивчення кавітаційних бульбашок.

У гідромеханіці, рівняння Релея-Плессета являє собою звичайне диференціальне рівняння, яке визначає динаміку сферичної бульбашки в нескінченному об'ємі рідини. Загальний вигляд цього рівняння записується таким чином:

$\frac{P_B(t)-P_{\mathrm{\infty }}(t)}{{\rho }_L}=R\frac{d^{2}R}{d{t}^2}+\frac{3}{2}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2+\frac{4{\nu }_L}{R}\frac{dR}{dt}+\frac{2S}{{\rho }_{L}R}$

де

$P_B(t)$ — тиск всередині бульбашки

$P_{\mathrm{\infty }}(t)$ — зовнішній тиск, джерело якого знаходиться нескінченно далеко від бульбашки

${\rho }_L$ — густина навколишньої рідини, яка є константою

$R(t)$ — радіус бульбашки

${\nu }_L$ — кінематична в'язкість навколишньої рідини, яка є константою

$S$ — поверхневий натяг бульбашки

За умов, що $P_B(t)$ відомий і $P_{\mathrm{\infty }}(t)$ заданий, рівняння Релея–Плессета може бути використане для знаходження для мінливого у часі радіуса бульбашки $R(t)$.

Рівняння Релея–Плессета отримується з рівнянь Нав'є–Стокса при припущенні сферичної симетрії. Без урахування поверхневого натягу і в'язкості, рівняння вперше було отримано Релеєм у 1917 році. Рівняння було вперше було застосовано на так званих кавітаційних бульбашок з Плессетом в 1949 році.

Отримання

Рівняння Релея-Плессета може бути отримано з першооснов, використовуючи радіус бульбашки як динамічний параметр. Розглянемо сферичну бульбашку з радіусом, який залежить від часу, $R(t)$, де $t$ — час. Припустимо, що бульбашка містить рівномірно розподілений всередині газ/пар з однаковою всюди температурою $T_B(t)$ і тиском $P_B(t)$. Поза бульбашкою знаходиться нескінченний простір рідини, яка має густину ${\rho }_L$ і в'язкість ${\mu }_L$. Позначимо температуру і тиск, джерела яких знаходяться далеко від бульбашки, як $T_{\mathrm{\infty }}$ і $P_{\mathrm{\infty }}(t)$ відповідно, де $T_{\mathrm{\infty }}$ — константа. При зміні радіальної відстані $r$ від центру бульбашки, змінюються властивості рідини, такі як тиск $P(r,t)$, температура $T(r,t)$, і радіальна швидкість $u(r,t)$. Зауважимо, що властивості рідини визначені тільки поза бульбашкою, при $r\ge R(t)$.

Збереження маси

Через закон збереження маси, закон обернених квадратів вимагає, щоб радіальна швидкість $u(r,t)$ була обернено пропорційна квадрату відстані від джерела (в центрі бульбашки). Нехай $F(t)$ — деяка функція часу,

$u(r,t)=\frac{F(t)}{r^2}$

У випадку перенесення нульової маси через поверхню бульбашки, швидкість всередині повинна бути

$u(R,t)=\frac{dR}{dt}=\frac{F(t)}{R^2}$

що дає

$F(t)=R^{2}dR/dt$

У разі, коли відбувається перенесення маси, швидкість збільшення маси всередині бульбашки визначається як

$\frac{d{m}_V}{dt}={\rho }_V\frac{dV}{dt}={\rho }_V\frac{d(4\pi R^3/3)}{dt}=4\pi {\rho }_V{R}^2\frac{dR}{dt}$

з $V$ — об'єм бульбашки. Якщо $u_L$ — швидкість рідини відносно бульбашки на $r=R$, тоді масове входження в бульбашку визначається як

$\frac{d{m}_L}{dt}={\rho }_{L}A{u}_L={\rho }_L(4\pi R^2)u_L$

з $A$ — поверхня бульбашки. Тепер, використовуючи закон збереження маси $d{m}_v/dt=d{m}_L/dt$ отримаємо $u_L=({\rho }_V/{\rho }_L)dR/dt$. Звідси

$u(R,t)=\frac{dR}{dt}-u_L=\frac{dR}{dt}-\frac{{\rho }_V}{{\rho }_L}\frac{dR}{dt}=(1-\frac{{\rho }_V}{{\rho }_L})\frac{dR}{dt}$

Тут

$F(t)=(1-\frac{{\rho }_V}{{\rho }_L})R^2\frac{dR}{dt}$

У багатьох випадках, густина рідини значно перевищує густину пару, ${\rho }_L\gg {\rho }_V$, так що $F(t)$ можна апроксимувати як вихідну форму передачі нульової маси $F(t)=R^{2}dR/dt$, так що

$u(r,t)=\frac{F(t)}{r^2}=\frac{R^2}{r^2}\frac{dR}{dt}$

Збереження імпульсу

Припускаючи, що рідина є ньютонівською, в нестискуване рівняння Нав'є–Стокса в сферичних координатах для руху в радіальному напрямку дає

${\rho }_L(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial r})=-\frac{\partial P}{\partial r}+{\mu }_L[\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)-\frac{2u}{r^2}]$

Підставляючи в'язкість ${\nu }_L={\mu }_L/{\rho }_L$, отримуємо

$-\frac{1}{{\rho }_L}\frac{\partial P}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial r}-{\nu }_L[\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)-\frac{2u}{r^2}]$

Підставимо величину $u(r,t)$ зі збереження маси, отримаємо

$-\frac{1}{{\rho }_L}\frac{\partial P}{\partial r}=\frac{2R}{r^2}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2+\frac{R^2}{r^2}\frac{d^{2}R}{d{t}^2}-\frac{2R^4}{r^5}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2=\frac{1}{r^2}(2R{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2+R^2\frac{d^{2}R}{d{t}^2})-\frac{2R^4}{r^5}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2$

Зауважимо, що в'язкість не враховуються під час заміни. Відокремимо змінні та зінтегруємо вище наведений вираз від границі бульбашки $r=R$ до $r\to \mathrm{\infty }$, отримуємо

$-\frac{1}{{\rho }_L}\underset{P(R)}{\overset{P_{\mathrm{\infty }}}{\int }}dP=\underset{R}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[\frac{1}{r^2}(2R{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2+R^2\frac{d^{2}R}{d{t}^2})-\frac{2R^4}{r^5}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2]dr$

$\frac{P(R)-P_{\mathrm{\infty }}}{{\rho }_L}={[-\frac{1}{r}(2R{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2+R^2\frac{d^{2}R}{d{t}^2})+\frac{R^4}{2r^4}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2]}_R^{\mathrm{\infty }}=R\frac{d^{2}R}{d{t}^2}+\frac{3}{2}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2$

Граничні умови

Позначимо ${\sigma }_{rr}$ як нормальне напруження в рідині, що спрямоване радіально назовні з центру бульбашки. У сферичних координатах, для рідини з постійною густиною і постійною в'язкістю, напруження має вигляд:

${\sigma }_{rr}=-P+2{\mu }_L\frac{\partial u}{\partial r}$

Внаслідок чого, в якійсь невеликій частині поверхні бульбашки, сила на одиницю площі, діючи на плівку, має вигляд

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{rr}(R)+P_B-\frac{2S}{R}& =-P(R)+{2{\mu }_L\frac{\partial u}{\partial r}|}_{r=R}+P_B-\frac{2S}{R}\\ & =-P(R)+2{\mu }_L\frac{\partial }{\partial r}{\left(\frac{R^2}{r^2}\frac{dR}{dt}\right)}_{r=R}+P_B-\frac{2S}{R}\\ & =-P(R)-\frac{4{\mu }_L}{R}\frac{dR}{dt}+P_B-\frac{2S}{R}\\ \end{array}$

де $S$ — поверхневий натяг. Якщо перенесення через границю відсутнє, то ця сила на одиницю площі повинна бути рівна нулю, тому

$P(R)=P_B-\frac{4{\mu }_L}{R}\frac{dR}{dt}-\frac{2S}{R}$

і в результаті збереження імпульсу

$\frac{P(R)-P_{\mathrm{\infty }}}{{\rho }_L}=\frac{P_B-P_{\mathrm{\infty }}}{{\rho }_L}-\frac{4{\mu }_L}{{\rho }_{L}R}\frac{dR}{dt}-\frac{2S}{{\rho }_{L}R}=R\frac{d^{2}R}{d{t}^2}+\frac{3}{2}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2$

В результаті підстановки ${\nu }_L={\mu }_L/{\rho }_L$ у вище наведений вираз дає нам рівняння Релея–Плессета

$\frac{P_B(t)-P_{\mathrm{\infty }}(t)}{{\rho }_L}=R\frac{d^{2}R}{d{t}^2}+\frac{3}{2}{\left(\frac{dR}{dt}\right)}^2+\frac{4{\nu }_L}{R}\frac{dR}{dt}+\frac{2S}{{\rho }_{L}R}$

Використовуючи точкове позначення для запису похідних по часу, рівняння Релея–Плессета можна записати більш точно

$\frac{P_B(t)-P_{\mathrm{\infty }}(t)}{{\rho }_L}=R\ddot{R}+\frac{3}{2}(\dot{R}{)}^2+\frac{4{\nu }_L\dot{R}}{R}+\frac{2S}{{\rho }_{L}R}$

Розв'язки

Нещодавно, були знайдені для рівняння Релея-Плессета для порожньої і газонаповненої бульбашки аналітичні розв'язки у замкнутій формі and were generalized to the N-dimensional case.. Також були проаналізовані розв'язки у випадку, коли У поверхневий натяг присутній через ефект капілярності.

Також відомі для особливих випадків, коли поверхневий натяг і в'язкість не враховується, вищі порядки апроксимації.

У статичному випадку, рівняння Релея–Плессета спрощується, внаслідок чого виникає рівняння Юнга-Лапласа:

$P_B-P_{\mathrm{\infty }}=\frac{2S}{R}$

Джерела

• Савула Я. Метод скінченних елементів (окремі сторінки посібника 1993 р. pdf)
• Шинкаренко Г. Чисельні методи математичної фізики (окремі сторінки чорновика посібника pdf)