W-функція Ламберта

W-функція Ламберта визначається як обернена функція до $f(w)=w{e}^w$, для комплексних $w$. Позначається $W(x)$ чи $\mathrm{LambertW}(x)$. Для довільного комплексного $z$ справедливо:

$z=W(z)e^{W(z)}$

$W$-функція Ламберта не може бути виражена в елементарних функціях. Застосовується в комбінаториці, наприклад, при підрахунку кількості дерев, та при розв'язку рівнянь.

Історія

Функція вивчалась ще в роботі Леонарда Ейлера 1779 року, але не мала власної назви до 1980-х років. Як самостійна функція була введена в системі комп'ютерної алгебри Maple під іменем LambertW. Ім'я Йоганна Ламберта було вибране, оскільки Ейлер посилався в своїй роботі на праці Ламберта.

Многозначність

Дві головні гілки функції $W_0$ та $W_{-1}$

Графік W₀(x) для −1/e ≤ x ≤ 4

Оскільки функція $f(w)$ не є ін'єктивною на інтервалі $(-\mathrm{\infty },0)$, $W(z)$ є многозначною функцією на $[-\frac{1}{e},0)$. Якщо обмежитись дійсними $z=x⩾-1/e$ і вимагати $w⩾-1$, буде визначена однозначна функція $W_0(x)$.

Властивості

Всі гілки W задовільняють диференціальні рівняння

$z(1+W)\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}=W,z\ne -1/e.$

$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}=\frac{W(z)}{z(1+W(z))},z\in ̸\{0,-1/e\}.$

$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}=\frac{1}{z+e^{W(z)}}.$

Ці рівняння можуть бути проінтегровані із застосуванням підстановки x = w e^w:

$\begin{array}{cc}\int W(x)\mathrm{d}x& =xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\ & =x(W(x)-1+\frac{1}{W(x)})+C.\\ \end{array}$

Використовуючи $W(e)=1$, отримаємо:

$\underset{0}{\overset{e}{\int }}W(x)\mathrm{d}x=e-1.$

Асимптоти

Ряд Тейлора для $W_0$ відносно 0 можна знайти застосувавши теорему Лагранжа про обернення ряду як:

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n=x-x^2+\frac{3}{2}{x}^3-\frac{8}{3}{x}^4+\frac{125}{24}{x}^5-\cdots$

Застосувавши ознаку д'Аламбера знаходимо радіус збіжності 1/e. Функція визначена рядом може бути аналітично розширена до голоморфної функції з точками розгалуження (−∞, −1/e].

Для великих значень x, W₀ асимптотична до

$W_0(x)=L_1-L_2+\frac{L_2}{L_1}+\frac{L_2(-2+L_2)}{2L_1^2}+\frac{L_2(6-9L_2+2L_2^2)}{6L_1^3}+\frac{L_2(-12+36L_2-22L_2^2+3L_2^3)}{12L_1^4}+\cdots$

$W_0(x)=L_1-L_2+\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{\ell }\left[\begin{array}{c}\ell +m\\ \ell +1\end{array}\right]}{m!}{L}_1^{-\ell -m}{L}_2^m$

де $L_1=\ln (x)$ , $L_2=\ln (\ln (x))$ та$\left[\begin{array}{c}\ell +m\\ \ell +1\end{array}\right]$ не від'ємні числа Стірлінга першого роду. Залишивши тільки 2 перші доданки, отримаємо:

$W_0(x)=\ln (x)-\ln (\ln (x))+o(1).$

Інша дійсна гілка, $W_{-1}$, визначена на інтервалі [−1/e, 0), для $x\ge e$ визначені наступні обмеження:

$\ln (x)-\ln (\ln (x))+\frac{\ln (\ln (x))}{2\ln (x)}\le W_0(x)\le \ln (x)-\ln (\ln (x))+\frac{e}{e-1}\frac{\ln (\ln (x))}{\ln (x)}$.

Застосування

...

Узагальнення

...

Див. також

• Рівняння xʸ = yˣ

Джерела

• Corless et al. (1996). «On the Lambert W function». Adv. Computational Maths. 5: 329-359.