Гауссів q-розподіл

Гауссів q-розподіл — сімейство розподілів ймовірностей, що є q-аналогом гауссового або нормального розподілу. Включає в себе, рівномірний розподіл і нормальний (гауссів) розподіл як граничні випадки. Розподіл симетричний відносно нуля і обмежений, за винятком в граничному випадку нормального розподілу. Гауссів q-розподіл, уведений Діазом і Теруелем, використовується у математичній фізиці і теорії ймовірності та статистики.

Визначення

Нехай q дійсне число в інтервалі [0, 1).  Функція щільності ймовірності гауссового Q-розподілу задається наступним чином

$s_q(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }x<-\nu \\ \frac{1}{c(q)}{E}_{q^2}^{\frac{-q^2{x}^2}{[2{]}_q}}& \text{if }-\nu \le x\le \nu \\ 0& \text{if }x>\nu .\end{array}$

де

$\nu =\nu (q)=\frac{1}{\sqrt{1-q}},c(q)=2(1-q{)}^{1/2}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m{q}^{m(m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^2{)}_{q^2}^m}.$

Q-аналог $[t]q$ дійсного числа $t$ задається

$[t{]}_q=\frac{q^t-1}{q-1}.$

Гауссів Q-розподіл

Q-аналог експоненційної функції є Q-експонентів, $E_q^x$, яка задається

$E_q^x=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{j(j-1)/2}\frac{x^j}{[j]!}$

де Q-аналог факторіала є Q-факторіала, $[n]q!$, який, в свою чергу, заданої

$[n{]}_q!=[n{]}_q[n-1{]}_q\cdots [2{]}_q,$

для цілого $n>2$ і $[1]q!=[0]q!=1.$

Кумулятивна функція розподілу гауссового Q-розподілу задається

$G_q(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }x<-\nu \\ \frac{1}{c(q)}\underset{-\nu }{\overset{x}{\int }}{E}_{q^2}^{-q^2{t}^2/[2]}{d}_{q}t& \text{if }-\nu \le x\le \nu \\ 1& \text{if }x>\nu \end{array}$

Сукупний гауссів Q-розподіл.

де символ інтегрування позначає інтеграл Джексона.

Функція $Gq$ задається явно

$G_q(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }x<-\nu ,\\ \frac{1}{2}+\frac{1-q}{c(q)}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{q^{n(n+1)}(q-1{)}^n}{(1-q^{2n+1})(1-q^2{)}_{q^2}^n}{x}^{2n+1}& \text{if }-\nu \le x\le \nu \\ 1& \text{if}x>\nu \end{array}$

де

$(a+b{)}_q^n=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).$

Моменти

Моменти гауссового Q-розподілу задаються

$\frac{1}{c(q)}\underset{-\nu }{\overset{\nu }{\int }}{E}_{q^2}^{-q^2{x}^2/[2]}{x}^{2n}{d}_{q}x=[2n-1]!!,$

$\frac{1}{c(q)}\underset{-\nu }{\overset{\nu }{\int }}{E}_{q^2}^{-q^2{x}^2/[2]}{x}^{2n+1}{d}_{q}x=0,$

де символ [2n - 1] !!  є Q-аналог подвійного факторіала, який задається

$[2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.$

Джерела

• Díaz, R.; Pariguan, E. (2009). "On the Gaussian q-distribution". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 358:
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983
• http://prima.lnu.edu.ua/faculty/mechmat/Departments/mathstat/DVVS/2015-16/magistry/imitaciyne-modelyuvannia-system-masovoho-obsluhovuvannia.pdf Імітаційне Шаблон:Webarchive моделювання систем масового обслуговування.