Струм ймовірності

В квантовій механіці, струм ймовірності (або потік ймовірності) описує зміни функції щільності ймовірності.

Визначення

Струм ймовірності $\overrightarrow{j}$ визначається як

$\overrightarrow{j}=\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*})=\frac{\hslash }{m}\text{Im}({\mathrm{\Psi }}^{*}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi })$

та задовліьняє квантово-механічне рівняння неперервності

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{j}=0$

зі щільністю ймовірності $\rho$, заданою

$\rho =|\mathrm{\Psi }{|}^2$.

Рівняння неперевності є еквівалетним наступному інтегральному рівнянню:

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^{2}dV+\underset{S}{\int }\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{dS}=0$

де $V$ — объём и $S$ − межа об'єму $V$. Це закон збуреження для щільності ймовірності в квантовій механіці.

Зокрема, якщо $\mathrm{\Psi }$ — хвильова функція окремої частинки, інтеграл в першому доданку попереднього рівняння (без похідної по часу) — ймовірність отримання значення в межах $V$, коли стан частинки виміряно. Другий доданок — швидкість, з якою ймовірність «витікає» з об'єму $V$.

Загалом рівняння свідсить, що похідна по часу ймовірності знаходження частинки в $V$ дорівнює швидкості, по якій ймовірність «витікає» з $V$.

Приклади

Плоска хвиля

Струм ймовірності, який можна зіставити плоскій хвилі

$\mathrm{\Psi }=A{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}{e}^{i\omega t}$

запишеться у вигляді

$\overrightarrow{j}=\frac{\hslash }{2mi}|A{|}^2(e^{-i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{e}^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}-e^{i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{e}^{-i\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}})=|A{|}^2\frac{\hslash \overrightarrow{k}}{m}.$

Це частка квадрата амплітуди на швидкість частинки:

$\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{p}}{m}=\frac{\hslash \overrightarrow{k}}{m}$.

Зауважте, що струм ймовірності є відмінним від нуля не дивлячись, на те, що плоскі хвилі це стаціонарний стан і отже

$\frac{d|\mathrm{\Psi }{|}^2}{dt}=0$

всюди. Це демонструє, що частинка може рухатись, навіть якщо її площинна щільність ймовірності не має ніякої явної залежності від часу.

Частинка в ящику

Для одновимірного ящика з нескінченним стінками довжиною $L$ ($0<x<L$), хвильові функції запишуться у вигляді

${\mathrm{\Psi }}_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right)$

та нуль справа і зліва від ями. Тоді струм запишеться у вигляді

$j_n=\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}_n^{*}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_n}{\partial x}-{\mathrm{\Psi }}_n\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_n^{*}}{\partial x})=0$

оскільки ${\mathrm{\Psi }}_n={\mathrm{\Psi }}_n^{*}.$

Виведення рівняння неперевності

В цьому розділі рівняння неперевності виводиться із визначення струму ймовірності та основних принципів квантової механіки

Припустимо, що $\mathrm{\Psi }$ — хвильова функція, яка залежить від трьох змінних $x$, $y$, та $z$). Тоді

$P=\underset{V}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^{2}dV$

визначає ймовірність виміряти позицію частинки в об'ємі V. Похідна по часу запишеться у вигляді

$\frac{dP}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^{2}dV=\underset{V}{\int }(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}{\mathrm{\Psi }}^{*}+\mathrm{\Psi }\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial t})dV$

де останнє рівння припускає, що часткову похідну по часу можна внести під інтеграл (форма об'єму $V$ не залежить від часу). Для подальшого спрощення роглянемо нестаціонарне Рівняння Шредінгера

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }+V\mathrm{\Psi }$

і використаємо його, щоб виділити похідну по часу від $\mathrm{\Psi }$:

$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\frac{i\hslash }{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\frac{i}{\hslash }V\mathrm{\Psi }$

Результат підстановки в попереднє рівняння для $\frac{dP}{dt}$ дає

$\frac{dP}{dt}=-\underset{V}{\int }\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\Psi }}^{*})dV$.

Тепер після переходу до дивергенції

$\mathrm{\nabla }\cdot ({\mathrm{\Psi }}^{*}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }+{\mathrm{\Psi }}^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*}-\mathrm{\Psi }{\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}}^2{\mathrm{\Psi }}^{*}$

і, оскільки, перший та третій доданки скорочуються:

$\frac{dP}{dt}=-\underset{V}{\int }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{\mathrm{\Psi }}^{*})dV$

Якщо згадаємо вираз для $P$ і зауважимо, що вираз на який діє оператор набла є $\overrightarrow{j}$ тоді запишем вираз

$\underset{V}{\int }(\frac{\partial |\mathrm{\Psi }{|}^2}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{j})dV=0$

який є інтегральною формою рівняння неперевності. Диференціальна форма випливає з того факту, що попередні рівняння виконана для всіх об'ємів $V$, і інтегралом можна знехтувати

$\frac{\partial |\mathrm{\Psi }{|}^2}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{j}=0.$

Посилання

Савула Я. Метод скінченних елементів (окремі сторінки посібника 1993 р.) http://old.ami.lnu.edu.ua/books/AMI/savula.pdfШаблон:Недоступне посилання

Шинкаренко Г. Чисельні методи математичної фізики (окремі сторінки чорновика посібника)http://old.ami.lnu.edu.ua/books/AMI/nmmf.pdf Шаблон:Webarchive