Суперлогарифм

У математиці суперлогарифм (або тетралогарифм) є однією з двох зворотних функцій тетрації. Так само, як піднесення до степеня має дві протилежні функції — корінь і логарифм, тетрація також має дві протилежні функції — суперкорінь і суперлогарифм. Існують кілька способів інтерпретації суперлогарифму:

• як функцію Абеля експоненційної функції,
• як зворотню функцію піднесення до степеня відносно висоти,
• як кількість разів, що необхідно проітерувати логарифм, щоб отримати одиницю (повторний логарифм),
• як узагальнення системи класу великих чисел Роберта Мунафо

Точне визначення суперлогарифма залежить від точного визначення нецілої тетрації (тобто ${}^{y}x,\mathrm{\forall }y\notin \mathbb{Z}$). Немає чіткого консенсусу щодо визначення нецілочисельної тетрації, а тому не існує чіткого консенсусу і суперлогарифму для чисел з області значень нецілих чисел.

Визначення

Суперлогарифм ${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(z)$ неявно визначається як ${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(b^z)={\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(z)+1$ та ${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(1)=0$.

Варто зазначити, що дане визначення може мати тільки цілочисловий результат, і прийматиме лише значення, які повертають цілі числа. Числа, які прийматиме дане визначення, мають вигляд $b,b^b,b^{b^b}$ і так далі. Існують кілька способів розширення області визначення суперлогарифму з даного рідкісного набору до дійсних чисел. Вони, як правило, містять третю вимогу на додачу до вищенаведених, яка змінюється від автора до автора. Такими способами є:

• лінійне наближення Рубстова і Ромеріо,
• квадратичне наближення Ендрю Роббінса,
• регулярна функція Абеля Джорджа Сзекерса,
• ітераційний функціональний підхід Пітера Вокера,
• природний матричний підхід Пітера Вокера, пізніше узагальнений Ендрю Роббінсом.

Наближення

Як правило, спеціальні функції визначені не тільки для дійсних значень аргументів, а й на комплексній площині, диференціальному та / або інтегральному поданні, а також розкладання у збіжні й асимптотичні ряди. Та все ж, жодні з таких представлень не доступні для функції суперлогарифму. Попри це, було запропоновано деякі прості наближення.

Лінійне наближення

Лінійне наближення до суперлогарифму

${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(z)\approx \{\begin{array}{cc}{\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(b^z)-1& z\le 0\\ -1+z& 0<z\le 1\\ {\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b({\log }_b(z))+1& 1<z\end{array}$

є частково-визначеною функцією з лінійною «критичною частиною». Ця функція має властивість неперервності при $\mathrm{\forall }z\in ℝ$ (неперервність $C^0$). Першими авторами, які визнали таке наближення, були Рубстов і Ромеріо. З іншого боку, лінійне наближення до тетрації було відомо раніше, наприклад, Іоаннісу Галідакісу. Це природна протилежність лінійного наближення до тетрації.

Деякі автори, серед яких Холмс, визнають, що суперлогарифм широко використовуватиметься в наступній еволюції комп'ютерної арифметики з рухомою комою, але для цього функція не повинна бути нескінченно диференційовною. Таким чином, з метою подання великих чисел, підхід лінійного наближення забезпечує достатню неперервність ($C^0$), аби гарантувати можливість подання будь-якого дійсного числа як суперлогарифму.

Квадратичне наближення

Квадратичне наближення до супер-логарифму

${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(z)\approx \{\begin{array}{cc}{\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(b^z)-1& z\le 0\\ -1+\frac{2\log (b)}{1+\log (b)}z+\frac{1-\log (b)}{1+\log (b)}{z}^2& 0<z\le 1\\ {\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b({\log }_b(z))+1& 1<z\end{array}$

є частково-визначеною функцією з квадратичною «критичною частиною». Дана функція має властивості неперервності та диференційовності для $\mathrm{\forall }z\in ℝ$ (неперервність $C^1$). Першим автором, який опублікував таке наближення, був Ендрю Роббінс.

Така версія суперлогарифму дозволяє виконання основних операцій обчислення над ним, не вимагаючи великої кількості попередніх рішень. З використанням цього методу основне дослідження властивостей суперлогарифму та тетрації може бути виконано з невеликою кількістю обчислювальних накладних витрат.

Підходи до функції Абеля

Шаблон:Main Функцією Абеля називається будь-яка функція, що задовольняє функціональному рівнянню Абеля $A_f(f(x))=A_f(x)+1$.

Інше рішення даної функції Абеля $A_f(x)$ може бути отримане шляхом додавання будь-якої константи $A{\text{'}}_f(x)=A_f(x)+c$. Отже, з урахуванням того, що суперлогарифм визначається як ${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(1)=0$ і має третю особливу властивість, яка залежить від підходу, функція Абеля степеневої функції може бути однозначно визначеною.

Властивості

Іншими рівняннями, яким задовольняє суперлогарифм, є:

• ${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(z)={\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b({\log }_b(z))+1$
• ${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(z)>-2,\mathrm{\forall }z\in R$

Ймовірно, перший приклад математичної задачі, рішення якої виражене в термінах суперлогарифмів, може бути таким: Розглянемо орієнтований граф з N вершин і такий, в якому орієнтований шлях із вершини i до вершини j існує тоді й тільки тоді, коли $i>j$. Якщо довжина всіх таких шляхів не перевищує k ребер, то найменша кількість ребер дорівнює:

• $\theta (N^2),k=1$
• $\theta (N\log N),k=2$
• $\theta (N\log \log N),k=3$
• $\theta (N\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}N),k\in [4;5]$
• Випадки при $k>5$ вимагають супер-супер-логарифм, супер-супер-супер-логарифм і так далі.

Суперлогарифм як зворотна тетрація

$f={\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{\mathrm{e}}(z)$ у комплексній площині z

Так як тетрація (або суперекспонента) ${\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}}_b(z)$ розглядається як аналітична функція принаймні для деяких значень b, то обернена функція ${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b={\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}}_b^{-1}$ також може бути аналітичною. Поведінку ${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(z),$ визначену таким чином, для випадку $b=e$ зображено на зображенні на комплексній z-площині. Рівні цілих значень дійсних та уявних частин функції суперлогарифма зображено товстими лініями. Якщо існування й унікальність аналітичного продовження тетрації забезпечуються умовою її асимптотичного наближення до нерухомих точок $L\approx 0,318+1,337i$ та $L^{*}\approx 0,318-1,337i$ лінії $L=\ln (L)$ у верхній і нижній частинах комплексної площини, то обернена функція також повинна бути унікальною. Така функція є дійсною на дійсній осі. Вона має дві точки розгалуження в $z=L$ та $z=L^{*}$. Вона наближається до свого граничного значення —2 в околі від'ємної частини дійсної вісі (всі смуги між розрізами зображено рожевими лініями на малюнку), і повільно зростає вздовж додатного напрямку дійсної вісі. Якщо похідна на дійсній вісі додатна, то уявна частина суперлогарифма залишається додатною над дійсною віссю і від'ємною під нею.

Див. також

• Повторний логарифм
• Тетрація

Посилання

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal