Прапор (лінійна алгебра)

Шаблон:Otheruses Прапор — послідовність вкладених один в одного підпросторів векторного простору $L$ (або простору іншого типу, для якого визначено поняття розмірності), що має вигляд

$L_0\subset L_1\subset L_2\subset \dots \subset L_k=L,$

де

$0=\dim L_0<\dim L_1<\dim L_2<\cdots <\dim L_k=\dim L.$

Найбільш часто зустрічається поняття повного (або максимального) прапора, в якому $\dim L_i=i$, і отже, число $k=\dim L.$

Якщо позначити dim L_i = d_i то набір чисел (d₁, … d_k) називається сигнатурою прапора.

Поняття прапора використовується головним чином в алгебрі та геометрії (іноді називається також фільтрацією).

Базиси і прапори

Кожен базис $e_1,\dots ,e_n$ векторного простору $L$ визначає в ньому деякий повний прапор. А саме $L_i=⟨e_1,\dots ,e_i⟩$ (тут трикутні дужки означають лінійну оболонку векторів). Даний базис векторного простору називається узгодженим з відповідним прапором.

Побудована таким чином відповідність між базисами і повними прапорами не є взаємно однозначною: різні базиси простору можуть визначати в ньому один і той же прапор. Якщо векторний простір $L$ є евклідовим, то, оперуючи не з будь-яким, а лише з ортонормованим базисом цього простору, ми отримуємо відповідність між ортонормованими базисами з точністю множення на елемент одиничної норми і повними прапорами.

Дія лінійної групи і стабілізатор

На множині прапорів заданої сигнатури природно вводиться дія загальної лінійної групи. Стабілізаторами називаються такі елементи, щр для всіх підпросторів у прапорі виконується $T(L_i)\subset L_i.$

В матричній термінології стабілізаторами будуть верхні трикутні блокові матриці з блоками розмірами $d_i-d_{i-1}.$ Зокрема стабілізаторами повних прапорів у узгоджених базисах будуть невироджені верхні трикутні матриці.

Гніздо

У нескінченновимірному просторі V ідея прапора узагальнюється до гнізда. А саме, набір підпросторів, цілком упорядкованих по включенню замкнутих підпросторів, називається гніздом.

Див. також

• Грассманіан
• Прапор (геометрія)

Література

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.