∪-добуток

$⌣$-добуток (кап-добуток, cup product, добуток Колмогорова — Александера) — в алгебраїчній топології операція, що двом групам сингулярних когомологій порядків p і q ставить у відповідність групу порядку p + q. З цим добутком когомології на просторі X утворюють градуйоване кільце, що позначається H^∗(X).

Означення

Нехай X — топологічний простір і $H^n(X)$ — відповідні сингулярні когомології. Для стандартного симплекса ${\mathrm{\Delta }}^n=\{(t_0,\dots t_n)\mid (\sum _i{t}_i=1)\wedge (\mathrm{\forall }i{t}_i⩾0)\}$ і для підмножини $S\subset \{0,\dots ,n\}$ нехай ${\iota }_S$ позначає стандартне вкладення симплекса, що є опуклою комбінацією вершин $e_i,i\in S$ у симплекс ${\mathrm{\Delta }}^n.$ $e_i$ в попередньому позначає точку в ${ℝ}^{n+1}$ де i-та координата рівна 1, а всі решта 0 (нумерація координат є від 0 до n).

Для початку добуток визначається для коланцюгів: якщо c^p — p-коланцюг і d^q — q-коланцюг, то значення їх $⌣$-добутку на базових сингулярних симплексах $\sigma =\sigma ({\mathrm{\Delta }}^n)$ за означенням рівне:

$(c^p⌣d^q)(\sigma )=c^p(\sigma \circ {\iota }_{0,1,...p})\cdot d^q(\sigma \circ {\iota }_{p,p+1,...,p+q})$

Кограниця двох коланцюгів c^p і d^q відповідно рівна

$\delta (c^p⌣d^q)=\delta c^p⌣d^q+(-1{)}^p(c^p⌣\delta d^q).$

З цієї формули відразу випливає, що $⌣$-добуток двох коциклів теж є коциклом. Також $⌣$-добуток кограниці і коциклу в довільному порядку є кограницею. Дійсно, якщо наприклад dq є коциклом то з попередньої формули його добуток з кограницею $\delta c^p$ рівний $\delta c^p⌣d^q=\delta (c^p⌣d^q),$ тобто теж є кограницею.

Таким чином введений добуток індукує добуток на когомологічних групах

$H^p(X)\times H^q(X)\to H^{p+q}(X).$

Властивості

$⌣$-добуток задовольняє такі властивості з яких зокрема випливає, що $H^{*}(X)$ з операціями додавання і $⌣$-добутку є кільцем:

$\alpha ⌣\beta =(-1{)}^{pq}\beta ⌣\alpha$ (градуйована комутативність).

$f^{*}(\alpha ⌣\beta )=f^{*}\alpha ⌣f^{*}\beta$ для гладкого відображення $f:Y\to X$

$\alpha ⌣({\beta }_1+{\beta }_2)=\alpha ⌣{\beta }_1+\alpha ⌣{\beta }_2$ (дистрибутивність)

$\alpha ⌣(\beta ⌣\gamma )=(\alpha ⌣\beta )⌣\gamma$ (асоціативність).

Зв'язок з когомологіями де Рама

Для когомологій де Рама аналогом $⌣$-добутку є звичайний зовнішній добуток диференціальних форм, що задовольняє рівності:

$\mathrm{d}(\omega \wedge \eta )=\mathrm{d}\omega \wedge \eta +(-1{)}^p\omega \wedge \mathrm{d}\eta$.

Згідно теореми де Рама класи когомологій де Рама і сингулярних когомологій є ізоморфними. Якщо позначати $[\omega ]$ — клас когомологій диференціальної форми, то при ідентифікації згідно теореми де Рама справедливим є твердження

$[\omega ]⌣[\eta ]=[\omega \wedge \eta ].$

Див. також

• Когомологія де Рама
• Сингулярні гомології

Література

• James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback)
• Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3
• Allen Hatcher, "Algebraic Topology Шаблон:Webarchive", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0