Нерівність Гарнака

Нерівність Гарнака — нерівність, що оцінює значення у двох близьких точках додатної гармонічної функції. Названа на честь німецького математика Акселя Гарнака. Нерівність Гарнака є досить сильним результатом з якого, зокрема, випливають: сильний принцип максимуму, теорема Гарнака про послідовності гармонічних функцій теореми про компактності сімейств гармонічих функцій, теорема Ліувіля.

Твердження нерівності

Нехай f - функція визначена у кулі в Rⁿ з радіусом R і центром в точці x₀. Якщо f є неперервною в замиканні кулі і гармонійною у відкритій кулі, тоді для кожної точки x для якої |x − x₀| = r < R,

$\frac{1-(r/R)}{[1+(r/R){]}^{n-1}}f(x_0)⩽f(x)⩽\frac{1+(r/R)}{[1-(r/R){]}^{n-1}}f(x_0).$

У випадку R² (n = 2) нерівність можна записати:

$\frac{R-r}{R+r}f(x_0)⩽f(x)⩽\frac{R+r}{R-r}f(x_0).$

Для загальних областей $\mathrm{\Omega }$ в ${𝐑}^n$ нерівність можна подати в такому виді: якщо $\omega$ є обмеженою областю для якої $\overline{\omega }\subset \mathrm{\Omega }$, тоді є константа $C$ така що

$\underset{x\in \omega }{\sup }u(x)⩽C\underset{x\in \omega }{\inf }⩽{\mu }^2(\tau -t),\tau -{\nu }^2⩽t⩽\tau u(x)$

для кожної двічі диференційовної, гармонічної і невід'ємної функції $u(x)$. Константа $C$ не залежить від $u$, а лише від областей $\mathrm{\Omega }$ і $\omega$.

Доведення нерівності Гарнака в кулі

Згідно інтегральної формули Пуассона

$f(x)=\frac{1}{{\omega }_{n-1}}\underset{|y-x_0|=R}{\int }\frac{R^2-r^2}{R|x-y{|}^n}\cdot f(y)dy,$

де ω_{n − 1} позначає площу сфери радіуса 1 в Rⁿ і r = |x − x₀|.

Оскільки

$R-r⩽|x-y|⩽R+r,$

для виразу під інтегралом виконуються нерівності

$\frac{R-r}{R(R+r{)}^{n-1}}⩽\frac{R^2-r^2}{R|x-y{|}^n}⩽\frac{R+r}{R(R-r{)}^{n-1}}.$

Підставивши ці нерівності в інтеграл вище і враховуючи, що середнє значення гармонічної функції на сфері рівне значенню функції в центрі сфери:

$f(x_0)=\frac{1}{R^{n-1}{\omega }_{n-1}}\underset{|y-x_0|=R}{\int }f(y)dy$

одержуємо нерівність Гарнака.

Узагальнення для еліптичних рівнянь

Нерівність Гарнака узагальнюється на невід'ємні розв'язки широкого класу лінійних еліптичних рівнянь виду

$ℒu=-\sum _{i,j=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}(a_{ij}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j})+\sum _{i=1}^n{b}_i(x)\frac{\partial u}{\partial x_i}+c(x)u$

з рівномірно додатно означеною матрицею $A=(a_{i,j}{)}_{n\times n}$

$\lambda \sum _{i=1}^n{\xi }_i^2⩽\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(x){\xi }_i{\xi }_j⩽\mathrm{\Lambda }\sum _{i=1}^n{\xi }_i^2$

де $\mathrm{\Lambda }>\lambda >0$ — числа, $\xi =({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n)$ — будь-який n-вимірний вектор, $x\in \mathrm{\Omega }$. При цьому стала C нерівності Гарнака залежить тільки від $\mathrm{\Lambda },\lambda$, деяких норм молодших коефіцієнтів оператора $ℒ$ і відстані між границями $\mathrm{\Omega }$ і $\omega$.

Узагальнення для параболічних рівнянь

Для невід'ємних розв'язків $u(x,t)$ рівномірно параболічних рівнянь виду

$ℒu=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}(t,x)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum _{i=1}^n{b}_i(t,x)\frac{\partial u}{\partial x_i}+c(t,x)u$

теж існує аналог нерівності Гарнака. Тут коефіцієнти матриці $(a_{i,j}{)}_{n\times n}$ задовольняють ті ж умови, що й вище.

У цьому випадку можлива тільки одностороння нерівність

$u(x,t)⩽Cu(y,\tau )$

для точок $(x,t)$, що лежать всередині параболоїда

$\{(x,t):|x-y{|}^2⩽{\mu }^2(\tau -t),\tau -{\nu }^2⩽t⩽\tau \}$

з вершиною в точці $(y,\tau )$.

При цьому $C$ залежить від величин $y,\tau ,\mathrm{\Lambda },\lambda ,\mu ,\nu ,$ деяких норм молодших коефіцієнтів оператора $ℒ$ і від відстаней між границею параболоїда і границею області, в якій $u(x,t)⩾0.$

Якщо, наприклад, $u(x,t)⩾0$ в циліндрі

$Q=(a,b]\times \mathrm{\Omega },\omega \subset \mathrm{\Omega }$

відстань між $\partial \mathrm{\Omega }$ і $\partial \omega$ є більшою або рівною d> 0 і d є достатньо малим, то в $(a-d^2,b]\times \omega$ виконується нерівність:

$\ln \frac{u(x,t)}{u(y,\tau )}⩽C(\frac{|x-y{|}^2}{\tau -t}+\frac{\tau -t}{d^2}+1).$

Зокрема, якщо $u(x,t)⩾0$ в $Q$ і компакти $Q_1,Q_2$ вкладені в $Q$, і до того ж:

$\delta =\underset{(x,t)\in Q_1,(y,\tau )\in Q_2}{\min }(t-\tau >0)$

то

$\underset{(x,t)\in Q_2}{\max }u(x,t)⩽C\underset{(x,t)\in Q_1}{\max }u(x,t),$

де $C=C(\delta ,Q,Q_1,Q_2,ℒ).$

Приклад функції

$u(x,t)=\exp (\sum _{i=1}^n{k}_i{x}_i+t\sum _{i=1}^n{k}_i^2)$

що є розв'язком рівняння теплопровідності $u_t-\mathrm{\Delta }u=0$ при будь-яких $k_1,k_2,...,k_n$ показує неможливість в параболічному випадку двосторонніх оцінок.

Див. також

• Гармонічна функція

Посилання

• Шаблон:Springer

Джерела

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation