Гомоморфізм кілець

Гомоморфізмом кілець називається деяке відображення одного кільця в інше, що узгоджується з операціями додавання і множення.

Визначення

Гомоморфізм кілець

Нехай $(R, +, \cdot)$ і $(S, \oplus, ⊙)$ — два кільця.

Гомоморфізмом кілець $R$ і $S$ називається відображення $h : R \to S$ для якого виконуються умови

$h (a + b) = h (a) \oplus h (b)$
$h (a \cdot b) = h (a) ⊙ h (b)$

Якщо $R$ і $S$ мають одиничні елементи, то, як правило, додатково вимагається

$h (1_{R}) = 1_{S}$ — одиничний елемент $R$ відображається на елемент $S$

Пов'язані визначення

Образом гомоморфізма $h$ називається множина

Im (h) = {a \in S : \exists_{b \in R} a = h (b)}

Образ гомоморфізма $h$ є підкільцем кільця $S$ .

Ядром гомоморфізма $h$ називається множина

\ker h = {a \in R : h (a) = 0_{S}}

,

де $0_{S}$ позначає нуль кільця $S$ . Ядро гомоморфізма $h$ є ідеалом кільця $R$ . Для комутативних кілець всі ідеали є ядрами деяких гомоморфізмів.

Мономорфізмом кілець називається ін'єктивний гомоморфізм. Гомоморфізм $h : R \to S$ є мономорфізмом кілець тоді і тільки тоді, коли $\ker h = {0_{R}}$ , де $0_{R}$ позначає нуль кільця $R$ .

Епіморфізмом кілець називається гомоморфізм $h : R \to S$ , що є сюр'єктивним відображенням.

Гомоморфізм $h : R \to S$ називається ізоморфізмом кілець тоді і тільки тоді, коли $h$ є бієктивним відображенням, тобто одночасно мономорфізмом і епіморфізмом. Для нього тоді існує обернене відображення $h^{- 1}$ , що теж є ізоморфізмом кілець. Кільця $R$ і $S$ називаються ізоморфними, якщо існує ізоморфізм $h : R \to S$ .

Гомоморфізм $h : R \to R$ кільця R в себе називається ендоморфізмом кільця. Якщо при цьому $h : R \to R$ є ізоморфізмом, тоді цей гомоморфізм називається автоморфізмом.

Властивості

$h (0_{R}) = 0_{S}$ тобто нульовий елемент з кільця $R$ відображається на нульовий елемент в $S$
Для всіх елементів $a \in R$ виконується $- h (a) = h (- a)$ . Ця рівність випливає з того, що: $h (a) \oplus h (- a) = h (a + (- a)) = h (0_{R}) = 0_{S} .$
Якщо існує гомоморфізм $h : R \to S$ то характеристика кільця S ділить характеристику кільця R.
Якщо R і S є комутативними кільцями і P є простим ідеалом кільця S, то $h^{- 1} (P)$ є простим ідеалом кільця R. Образ простого ідеалу при гомоморфізмі в загальному випадку не є навіть ідеалом.
Композиція двох гомоморфізмів кілець є гомоморфізмом кілець. Одиничне відображення є гомоморфізмом кілець. Тому всі кільця разом з гомоморфізмами кілець утворюють категорію — категорію кілець. Комутативні кільця разом із їх гомоморфізмами утворюють підкатегорію категорії кілець.

Приклади

Комплексне спряження $ℂ \to ℂ; z \mapsto \bar{z}$ є прикладом автоморфізму кільця.
Відображення $φ : ℤ \to ℤ / 𝑛 ℤ$ визначене як $𝑧 \mapsto 𝑧 \mod 𝑛$ є епіморфізмом кілець.
Для деякого елемента $a \in R^{*}$ можна визначити автоморфізм $f_{a} : R \to R; r \mapsto a \cdot r \cdot a^{- 1}$ .
Для кільця функцій визначених в якійсь множині із значеннями в множині дійсних чисел, вибравши довільну точку із області визначення можна отримати відображення, що кожній функції ставить у відповідність її значення у вибраній точці. Дане відображення буде гомоморфізмом з кільця функцій в поле дійсних чисел.

Канонічний гомоморфізм

Для довільного кільця $R$ і його ідеала $I \subseteq R$ відображення $h : R \to R / I$ визначене як $h (a) = [a]$ є епіморфізмом. Таке відображення $h$ називається канонічним гомоморфізмом кільця $R$ на фактор-кільце $R / I$ .

Якщо $h : R \to S$ є епіморфізмом кілець $R, S$ , то $S$ є ізоморфним фактор-кільцю $R / \ker h$ (ізоморфізмом є відображення $g : R / \ker h \to S$ визначене як $g ([a]) = h (a)$ ) і $h = g \circ f$ , де $f : R \to R / \ker h$ є канонічним гомоморфізмом.

Див. також

Джерела

Гомоморфізм кілець

Зміст

Визначення