Схема (математика)

Схе́ма (від лат. schema, грец. σχῆμα) — в математиці абстрактне поняття, що є дуже широким узагальненням алгебричного многовиду. Схеми в сучасному виді були введені французьким математиком Александром Гротендіком і є ключовим поняттям сучасної алгебричної геометрії.

Афінні схеми

Базовим поняттям теорії схем є афінні схеми, що є аналогами афінних многовидів. Довільні схеми склеюються з афінних, подібно до того, як многовиди склеюються з локальних карт. Афінні многовиди вводяться на спектрах кілець з введеною на них топологією і визначеним на цій топології пучком кілець. Більш загально афінними схемами називаються локально окільцьовані простори, що є ізоморфними спектру кільця з введеним структурним пучком.

Спектр кільця

Нехай $A$ — кільце. Спектром $S p e c A$ кільця $A$ називається множина елементами якої є всі прості ідеали кільця $A$ . На цій множині вводиться топологія Зариського в якій замкнутими множинами є множини виду:

V (I) = {𝔭 \in S p e c A | I \subset 𝔭}

де

I

— усі довільні ідеали кільця

A

(очевидно у визначенні можна замість ідеалів взяти довільні множини елементів кільця).

Відкритими множинами є, відповідно, доповнення замкнутих, тобто множини виду

D (I) = {𝔭 \in S p e c A | I \subset̸ 𝔭} .

Базу топології на спектрі утворюють множини $D_{f} = D ((f)), f \in A,$ що пов'язані з головними ідеалами $(f)$ .

Структурний пучок

Аффінна схема — локально окільцьований простір $(S p e c A; 𝒪_{A})$ , де $𝒪_{A}$ — структурний пучок кілець на відкритих підмножинах спектру. Він вводиться таким чином, щоб будь-яку відкриту підмножину в $S p e c A$ можна було розглядати як підсхему, при цьому для афінних схем виконується $𝒪_{A} (S p e c A) = A$ , що означає еквівалентність геометричного і алгебраїчного погляду на кільце.

За визначенням, структурний пучок на елементах бази має вигляд

𝒪_{A} (D_{f}) = A_{f}

де

A_{f}

— локалізація кільця

A

по елементу

f

. Цю конструкцію в єдиний спосіб можна продовжити до пучка на

S p e c A

.

У явному вигляді

𝒪_{A} (D_{f_{1}, \dots, f_{k}}) = A_{f_{1}, \dots, f_{k}}

D_{f_{1}, \dots, f_{k}} = \cup_{i = 1}^{k} D_{f_{i}}

D_{f_{1} \dots f_{k}} = \cap_{i = 1}^{k} D_{f_{i}}

Структурний пучок на спектрі кільця можна також ввести і в інший спосіб. Нехай $𝔭 \in S p e c A$ — позначає прості ідеали кільця і $A_{𝔭}$ локалізацію кільця по цих ідеалах. Якщо $U \subset S p e c A$ — відкрита підмножина в спектрі, то $𝒪_{A} (U)$ можна визначити як множину функцій:

s : U \to ⨆_{𝔭 \in U},

(символ

⨆

позначає диз'юнктне об'єднання)

таке що для всіх

𝔭 \in S p e c A

виконується

s (𝔭) \in A_{𝔭}

і s локально є часткою двох елементів кільця A, тобто для всіх

𝔭 \in U

існує окіл

V \subset U

якому належить

𝔭

і елементи

a, f \in A

такі що для всіх

𝔮 \in V

справедливо

f \notin 𝔮

і

s (𝔮) = a / f

у

A_{𝔮} .

На визначеній так множині $𝒪_{A} (U)$ можна ввести операції додавання і множення після цього дана множина стане комутативним кільцем з одиницею.

Спектр із введеним вище структурним пучком є локально окільцьованим простором.

Афінною схемою називається довільний локально окільцьований простір ізоморфний спектру кільця із структурним пучком.

Схеми

Схема — локально окільцьований простір $(X, 𝒪_{X})$ ( $X$ — топологічний простір, $𝒪_{X}$ — пучок кілець на ньому), що є локально ізоморфним афінній схемі. Більш детально, потрібно, щоб існувало таке покриття ${U_{i}}_{i \in I}$ топологічного простору $X$ афіними схемами $U_{i} = S p e c A_{i}$ , так що обмеження структурного пучка на елементи покриття дає структурні пучки відповідних афінних схем:

X = ⋃_{i \in I} U_{i}

\forall i \in I : 𝒪_{X} |_{U_{i}} = 𝒪_{A_{i}}

Топологічний простір $X$ називається базисним топологічним простором схеми $(X, 𝒪_{X})$ , а $𝒪_{X}$ називається структурним пучком. Морфізм схем — це морфізм відповідних локально окільцьованих просторів. Ізоморфізм — морфізм, що має обернений морфізм.

Див. також

Джерела

Схема (математика)

Зміст

Афінні схеми

Спектр кільця

Структурний пучок

Схеми

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Схема (математика)

Афінні схеми

Спектр кільця

Структурний пучок

Схеми

Див. також

Джерела

Навігаційне меню

Пошук