Лема Зариського

Лема Зариського — важлива лема в комутативній алгебрі, яка зокрема використовується при доведенні теореми Гільберта про нулі. Названа на честь Оскара Зарицького.

Лема стверджує, що якщо поле L є розширенням поля K і водночас L є скінченно породженою алгеброю над полем K то звідси випливає, що L є скінченним розширенням поля K.

Доведення

Припустимо спершу, що $L=K(v)$ для деякого $v\in L.$ Тоді кільце $K[v]$ є ізоморфним кільцю $K[X]/(F),$ де $K[X]$ — кільце многочленів над K і$F\in K[X],$ оскільки $K[X]$ є кільцем головних ідеалів. Також $(F)$ є простим ідеалом.

$(F)$ не може бути рівним нулю. Дійсно в цьому випадку $L=K(X)$ і це суперечить тому, що L є скінченно породженою алгеброю над K. Справді $K(X)$ не є скінченно породженою алгеброю над K оскільки якщо вибрати спільний знаменник b породжуючих елементів, то будь-який елемент $p\in K(X),$ знаменник якого не ділить жодного степеня b не може бути записаний через ці породжуючі елементи.

Отже, $(F)$ є ненульовим простим ідеалом. $F$ є незвідним многочленом, старший коефіцієнт якого можна вважати рівним 1. Ідеал $(F)$ є максимальним ідеалом і тому $K[v]=K[X]/(F)$ є полем, тобто $K[v]=K(v).$ Також $F(v)=0,$ тобто v є алгебраїчним елементом і $L=K(v)$ є скінченним розширенням поля K.

Припустимо тепер, що твердження теореми справедливе для випадку коли L є скінченно породженою алгеброю з n — 1 породжуючим елементом і доведемо, що твердження справедливе і для $L=K[v_1,\dots ,v_n].$ Позначимо $K_1=K(v_1).$ Тоді з припущення індукції $L=K_1[v_2,\dots ,v_n]$ є скінченним розширенням поля $K_1.$ Якщо також $K_1$ є алгебраїчним розширенням, то воно є скінченним і $L=K[v_1,\dots ,v_n]$ тоді теж є скінченним, оскільки у послідовності полів K ⊆ L ⊆ F, поле F є скінченним розширенням над K тоді і тільки тоді, коли F є скінченним розширенням над L та L є скінченним розширенням над K.

Тому припустимо, що $K_1$ не є алгебраїчним розширенням і тоді воно ізоморфно полю $K(X).$ Кожен елемент $v_i,i=2,\dots ,n$ є алгебраїчним над $K_1,$ тобто виконується рівність:

$v_i^{n_i}+a_{i1}{v}_i^{n_i-1}+\dots =0,a_{ij}\in K_1.$

Позначивши як a добуток знаменників всіх $a_{ij}$ в рівностях вище маємо також:

$(a{v}_i{)}^{n_i}+a{a}_{i1}(a{v}_i{)}^{n_i-1}+\dots =0.$

Оскільки з попереднього $a{a}_{ij}\in K[v_1]$ то всі елементи $a{v}_i$ є алгебраїчними цілими над $K[v_1].$ Оскільки алгебраїчні цілі утворюють кільце, то для кожного $z\in K[v_1,\dots ,v_n]$ існує $m\in \mathbb{N},$ таке що $a^{m}z$ є алгебраїчним цілим над $K[v_1].$

Зокрема, оскільки $K(v_1)\subset K[v_1,\dots ,v_n],$ то це твердження є справедливим і для $K(v_1).$ Проте за припущенням $K(v_1)$ є ізоморфним полю $K(X)$ і $K[v_1]$ є ізоморфним кільцю $K[X].$ Елемент поля $K(X)$ є алгебраїчним цілим над $K[X]$ тоді і тільки тоді коли він належить $K[X].$ Дійсно якщо $z=F/G\in K(X),$ де $F,G\in K[X]$ — взаємно прості многочлени, то з $z^n+a_1{z}^{n-1}+\dots =0$ випливає $F^n+a_1{F}^{n-1}G+\dots =0,$ тому G ділить F і відповідно G = 1. Зокрема, якщо знаменник $z$ не ділить $a$, то $a^{m}z$ не може бути алгебраїчним цілим для довільного $m\in \mathbb{N}.$

Тому з усіх цих властивостей маємо, що $K(v_1)$ не може бути ізоморфним $K(X)$ і відповідно $K_1$ є алгебраїчним розширенням, що завершує доведення.

Див. також

• Теорема Гільберта про нулі

Джерела

• William Fulton. Algebraic Curves: An Introduction To Algebraic Geometry New York: Benjamin, 1969. Reprint ed.: Redwood City, CA, USA: Addison-Wesley, Advanced Book Classics, 1989. ISBN 0-201-51010-3. Електронна версія Шаблон:Webarchive.Шаблон:Ref-en