Лема Ріса

Лема Ріса — твердження в функціональному аналізі про властивості лінійних замкнутих просторів у нормованому просторі. Названа на честь угорського математика Фридєша Ріса, що опублікував доведення у випадку гільбертових просторів у 1918 році.

Твердження

Нехай Y — замкнутий лінійний підпростір нормованого простору X. Тоді для довільного дійсного числа, такого що 0 < α < 1 існує такий елемент x ∈ X, що

$\Vert x\Vert =1$

і також

$\Vert x-y\Vert >\alpha$

для всіх y ∈ Y. Іншими словами

$d(x,Y)>\alpha$,

де d(x, Y) позначає відстань елемента x від множини Y щодо норми нормованого простору X.

Доведення

• Нехай елемент v ∈ X \ Y і також позначимо

$a=d(v,Y)=\underset{y\in Y}{\inf }\Vert v-y\Vert .$

Оскільки підпростір Y є замкнутим, то a > 0. З визначення інфімуму випливає існування такого елемента y₀ ∈ Y, що

$a⩽\Vert v-y_0\Vert <\frac{a}{\alpha }.$

Нехай x = c(v — y₀), де

$c=\frac{1}{\Vert v-y_0\Vert }.$

Норма елемента x рівна 1. Окрім того, для кожного y ∈ Y

$\Vert x-y\Vert =\Vert c(v-y_0)-y\Vert =c\Vert v-(y_0+\frac{1}{c}y)\Vert .$

Оскільки

$y_0+\frac{1}{c}y\in Y,$

то також

$\Vert v-(y_0+\frac{1}{c}y)\Vert ⩾a.$

Отже,

$\Vert x-y\Vert =c\Vert v-(y_0+\frac{1}{c}y)\Vert ⩾ca=\frac{a}{\Vert v-y_0\Vert }>\frac{a}{a/\alpha }=\alpha ,$

що завершує доведення.

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель