Трикутна функція

Графік трикутної функції

Трикутна функція — кусково-лінійна функція однієї змінної, що має широке застосування в обробці сигналів, чисельних методах. Визначається як

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t)=\wedge (t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\max (1-|t|,0)\\ & =\{\begin{array}{cc}1-|t|,& |t|<1\\ 0,& \text{dla innych }t\end{array}\end{array}$

Трикутну функцію також можна визначити через модуль числа і прямокутну функцію:

$\mathrm{tri}(t)=\mathrm{rect}(t/2)(1-\left|t\right|)$

Властивості

• Трикутна функція рівна згортці двох прямокутних функцій:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tri}(t)=\mathrm{rect}(t)*\mathrm{rect}(t)& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t-\tau )d\tau \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau )\cdot \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\tau -t)d\tau .\end{array}$

Згортка двох квадратичних функцій. Значення в точці t рівне площі виділеній жовтим кольором.

• Перетворення Фур'є для трикутної функції рівне:

$\begin{array}{cc}ℱ\{\mathrm{tri}(t)\}& =ℱ\{\mathrm{rect}(t)*\mathrm{rect}(t)\}\\ & =ℱ\{\mathrm{rect}(t)\}\cdot ℱ\{\mathrm{rect}(t)\}\\ & =ℱ\{\mathrm{rect}(t){\}}^2\\ & ={\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2(f).\end{array}$

Застосування

Трикутні функції застосовуються в обробці сигналів і радіозв'язку, як ідеалізований сигнал, що є частиною більш складних реальних сигналів. Також застосовуються для передачі і виявлення цифрових сигналів.

Трикутні функції є базисними в одновимірному методі скінченних елементів.

Див. також

• Прямокутна функція
• Функція sinc