П'ятикомірник

П'ятикомірник
Діаграма Шлегеля: проєкція (перспектива) п'ятикомірника в тривимірний простір
Тип	Правильний чотиривимірний політоп
Символ Шлефлі	{3,3,3}
Комірок	5
Граней	10
Ребер	10
Вершин	5
Вершинна фігура	Правильний тетраедр
Двоїстий політоп	Він же (самодвоїстий)

Проєкція п'ятикомірника в тривимірний простір

Стереографічна проєкція п'ятикомірника

П'ятикомірник, або пентахор (від Шаблон:Lang-grc — «п'ять» і Шаблон:Lang-grc2 — «місце, простір»), — один з правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі: правильний чотиривимірний симплекс.

Відкритий Людвігом Шлефлі в середині 1850-х років. Символ Шлефлі п'ятикомірника — {3,3,3}.

Є двоїстим сам собі. На відміну від п'яти інших правильних багатокомірників, не має центральної симетрії.

Використовується у фізико-хімічному аналізі для вивчення властивостей багатокомпонентних систем.

Опис

Обмежений 5 тривимірними комірками — однаковими правильними тетраедрами. Будь-які дві комірки — суміжні; кут між ними дорівнює $\arccos \frac{1}{4}\approx 75,52^{\circ }.$

Його 10 двовимірних граней — однакові правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.

Має 10 ребер рівної довжини. На кожному ребрі сходяться по 3 грані й по 3 комірки.

Має 5 вершин. У кожній вершині сходяться по 4 ребра, по 6 граней і по 4 комірки. Будь-які 2 вершини з'єднані ребром; будь-які 3 вершини належать одній грані; будь-які 4 вершини належать одній комірці.

П'ятикомірник можна розглядати як правильну чотиривимірну піраміду з тетраедричною основою.

У координатах

Перший спосіб розташування

П'ятикомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб його вершини мали координати $(1;1;1;0),$ $(1;-1;-1;0),$ $(-1;1;-1;0),$ $(-1;-1;1;0),$ $(0;0;0;\sqrt{5}).$

При цьому точка $(0;0;0;\frac{\sqrt{5}}{5})$ буде центром вписаної, описаної і піввписаної тривимірних гіперсфер.

Другий спосіб розташування

У п'ятивимірному просторі можливо розмістити п'ятикомірник так, щоб усі його вершини мали цілі координати: $(1;0;0;0;0),$ $(0;1;0;0;0),$ $(0;0;1;0;0),$ $(0;0;0;1;0),$ $(0;0;0;0;1).$

Центром вписаної, описаної і напіввписаної гіперсфер при цьому буде точка $(\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5}).$.

Ортогональні проєкції на площину

Метричні характеристики

Якщо п'ятикомірник має ребро довжини $a,$ то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

$V_4=\frac{\sqrt{5}}{96}{a}^4\approx 0,0232924a^4,$

$S_3=\frac{5\sqrt{2}}{12}{a}^3\approx 0,5892557a^3.$

Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому буде дорівнює

$R=\frac{\sqrt{10}}{5}a\approx 0,6324555a,$

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) —

${\rho }_1=\frac{\sqrt{15}}{10}a\approx 0,3872983a,$

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (дотикається до всіх граней у їхніх центрах) —

${\rho }_2=\frac{\sqrt{15}}{15}a\approx 0,2581989a,$

радіус вписаної гіперсфери (дотикається до всіх комірок у їхніх центрах) —

$r=\frac{\sqrt{10}}{20}a\approx 0,1581139a.$

Неправильні п'ятикомірники

Іноді словом «п'ятикомірник» може позначатися не тільки правильний, але й довільний чотиривимірний симплекс.

Посилання

• Шаблон:MathWorld