Напрямні косинуси

В аналітичній геометрії, напрямні косинуси (або косинуси напрямку) вектора це косинуси кутів між вектором і трьома осями координат.

Тривимірні Декартові координати

Вектор v в просторі ℝ³.

Напрямні косинуси і кути напрямків одиничного вектора v/Шаблон:PipevШаблон:Pipe.

Якщо v є Евклідовим вектором в тривимірному Евклідовому просторі, ℝ³,

$𝐯=v_{\text{x}}{𝐞}_{\text{x}}+v_{\text{y}}{𝐞}_{\text{y}}+v_{\text{z}}{𝐞}_{\text{z}}$

де e_x, e_y, e_z стандартний базис у декартовій системі координат, тоді напрямні косинуси це:

$\begin{array}{ccc}\alpha & =\cos a=\frac{𝐯\cdot {𝐞}_{\text{x}}}{\left|𝐯\right|}& =\frac{v_{\text{x}}}{\sqrt{v_{\text{x}}^2+v_{\text{y}}^2+v_{\text{z}}^2}},\\ \beta & =\cos b=\frac{𝐯\cdot {𝐞}_{\text{y}}}{\left|𝐯\right|}& =\frac{v_{\text{y}}}{\sqrt{v_{\text{x}}^2+v_{\text{y}}^2+v_{\text{z}}^2}},\\ \gamma & =\cos c=\frac{𝐯\cdot {𝐞}_{\text{z}}}{\left|𝐯\right|}& =\frac{v_{\text{z}}}{\sqrt{v_{\text{x}}^2+v_{\text{y}}^2+v_{\text{z}}^2}}.\end{array}$

Якщо звести в квадрат кожне рівняння і додати отримаємо:

${\cos }^{2}a+{\cos }^{2}b+{\cos }^{2}c=1.$

Тут, α, β і γ напрямні косинуси Декартової системи координат одиничного вектора v/|v|, а a, b і c є кутами направлення вектора v.

Напрямні кути a, b і c можуть бути гострими або тупими кутами, тобто, 0 ≤ a ≤ π, 0 ≤ b ≤ π і 0 ≤ c ≤ π і вони задають кути утворені між v одиничними базисними векторами, e_x, e_y і e_z.

Загальне визначення

В більш загальному сенсі, напрямний косинус відноситься до косинуса кута між двома векторами. Вони застосовуються для побудови косинусних матриць повороту, які задають набір ортогональних базисних векторів для задання відомого вектора в іншому базисі.

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:MathWorld