Малокутове наближення

Приблизно однаковий вигляд деяких тригонометричних функцій при x → 0

Малокутове наближення або апроксимація малих кутів це корисне спрощення базових тригонометричних функцій, яке буде досить точним при ліміті коли кут. Вони є усіченим рядом Тейлора для базових тригонометричних функцій за допомогою властивостей Шаблон:Нп. Таке спрощення дає наступну формулу:

$\sin \theta \approx \theta$

$\cos \theta \approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}$

$\tan \theta \approx \theta$,

де θ це кут в радіанах.

Апроксимація малих кутів корисна в багатьох застосуваннях фізики, включаючи механіку, електромагнетизм, оптику (де воно є основою паралаксіальної оптики), картографії, астрономії, та ін.

Обґрунтування

Графічне

Точність наближення наглядно видно нижче на графіках 1 і 2. З тим як кут наближається до нуля, очевидно, що різниця між апроксимованою прямою і справжньою функцією значно зменшується.

• 
  Графік 1. Порівняння базової парної тригонометричної функції із значенням кута θ. Видно, що при зменшенні значення кута до 0 наближення стає кращим.
• 
  Графік 2. Порівняння функції cos(θ) з 1 - θ²/2. Видно, що при зменшенні значення кута до 0 наближення стає кращим.

Геометричне

В червоній частині справа, d, є різницею між довжиною гіпотенузи, H, і прилеглої сторони, A. Як видно, H і A мають приблизно однакову довжину, що означає що cos θ близький до 1 і ${\theta }^2/2$ дозволяє відкинути червону різницю.

$\cos \theta \approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}$

Протилежна вертикальна сторона, O, приблизно дорівнює довжині синьої дуги, s. Узагальнюючи факти з геометрії, s = A*θ, із тригонометрії, sin θ = O/H і tan θ = O/A, а із зображення беремо що, $O\approx s$ і $H\approx A$, що приводить до:

$\sin \theta =\frac{O}{H}\approx \frac{O}{A}=\tan \theta =\frac{O}{A}\approx \frac{s}{A}=\frac{A*\theta }{A}=\theta$.

Спростивши, отримаємо,

$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta$.

Алгебраїчне

Апроксимація функції синуса для малих кутів.

Розширенням Маклорена (розкладання в ряд Тейлора при наближенні до 0) відповідної тригонометричної функції є

$\sin \theta =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{\theta }^{2n+1}=\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\frac{{\theta }^7}{7!}+\cdots$

де θ це кут в радіанах. У більш простому вигляді,

$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{6}+\frac{{\theta }^5}{120}-\frac{{\theta }^7}{5040}+\cdots$

Легко побачити що другий найзначиміший (viz., третього порядку) терм зменшується в кубічній пропорції відносно першого терму; тому, навіть для такого не дуже малого значення як 0.01, значення другого значимого терму буде мати порядок 0.000001, або одну десятитисячну від першого терма. Таким чином, можна сміливо апроксимувати:

$\sin \theta \approx \theta$

В подальшому, оскільки значення косинуса малого кута дуже близький одиниці, а тангенс задається як відношення синуса до косинуса, маємо

$\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta$.

Похибка апроксимації

Малюнок 3. Графік абсолютних похибок при малокутовому наближенні.

Малюнок 3 показує похибку апроксимації малих кутів. Кути, при яких відносна похибка перевищує 1% є наступними:

• tan θ ≈ θ при приблизно 0.176 радіанах(10°).
• sin θ ≈ θ при приблизно 0.244 радіан (14°).
• cos θ ≈ 1 - θ²/2 при приблизно 0.664 радіан (38°).

Приклади застосування

Астрономія

В астрономії, зображення, яке займає образ віддаленого об'єкта зазвичай має розмір лише в декілька арксекунд, тому в даному випадку досить добре застосовується малокутове наближення. Зв'язок лінійного розміру (D) із кутовим розміром (X) і дистанцією від спостерігача (d) задається простою формулою

D = X · d / 206,265

де X вимірюється в арксекундах.

Число 206,265 приблизно дорівнює кількості арксекунд в одному колі (1,296,000), розділене на 2π.

Точна формула має наступний вигляд:

D = d tan(X·2π/1,296,000)

а вищезгадане спрощення випливає із заміни tan(X) на X.