Великі числа

Великі числа — числа, що значно більші, ніж ті, які зазвичай використовуються в повсякденному житті (наприклад, у простому рахунку чи грошових операціях), часто з’являються в таких областях, як математика, космологія, криптографія та статистична механіка.

Гугологія — розділ математики, об'єктами якого є великі числа і їх номенклатура. Термін був утворений як комбінація слів «гугол» (класичне велике число) і «логос» (вчення).

Історія

III ст. до н. е. — Архімед у своїй праці «Псамміт» представив позначення, що дозволяє записувати числа до $10^{8\times 10^{16}}$.

I століття — В буддистському священному тексті Аватамсака-сутра було згадано число $\approx 10^{10^{32}}$

1928 рік — Вільгельм Аккерман опублікував свою функцію.

1940 рік — Едвард Казнер описав числа гугол ($10^{100}$) та гуголплекс ($10^{10^{100}}$).

1947 рік — Рубен Гудштейн дав найменування операцій тетрації ($a\uparrow \uparrow b$), пентації ($a\uparrow \uparrow \uparrow b$) та гексації ($a{\uparrow }^{4}b$).

1970 рік — С. Вайнер дав визначення швидкозростаючої ієрархії.

1976 рік — Дональд Кнут винайшов нотацію Кнута (межа $\omega$ у термінології швидкозростаючої ієрархії).

1977 рік — М. Гарднер в журналі Scientific American описав число Грема ($G=g(64)=f^{64}(4)$, де $f(n)=3{\uparrow }^{n}3$. Функція $g(n)$ має швидкість росту порядку $\omega +1$).

1983 рік — була винайдена нотація Штейнгауза — Мозера(межа $\omega$).

1995 рік — Д. Конвей винайшов ланцюгову стрілочну нотацію (межа ${\omega }^2$).

2002 рік — Джонатан Бауерс опублікував свою нотацію масиву (межа ${\omega }^{\omega }$) і розширене позначення масиву (межа ${\omega }^{{\omega }^{\omega }}$). У 2007 році Бауерс визначив ще більше своєю дужою позначення BEAF (ця нотація добре визначена до ${\epsilon }_0$ числа, що перевищують цей рівень, викликають суперечливість оцінок).

• Шаблон:Не перекладено дав визначення функції TREE(n), що має швидкість зростання $\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }\omega )$.

2011 рік — С. Сайбіан (S. Saibian) запропонував гіпер-Е позначення (межа $\omega$), в 2013 році створену на її основі каскадну-Е позначення (межа ${\epsilon }_0$) і в 2014 році розширену каскадну-Е позначення (межа $\phi (\omega ,0,0)$).

Список гугологізмів

Математичні об'єкти, що мають відношення до гугології (зокрема великі числа), називаються гугологізмами. В даний час найменування дані для декількох тисяч чисел, переважаючих гугол. Нижче наведено список деяких гугологізмів та їх вираження в найбільш відомих нотаціях. Перед виразом в тій нотації, в якій число було записано автором, стоїть знак рівності, вираження для того ж числа в інших нотаціях являють собою апроксимації.

Ім'я числа	Степінь десяти	нотація Кнута	нотація Конвея	нотація Бауерса	нотация Сайбиана	швидкозростаюча ієрархія
Гугол	$=10^{100}$	$10\uparrow 100$	$10\to 100$	$\{10,100\}$	$E100$	$f_2(324)$
Гуголплекс	$=10^{10^{100}}$	$10\uparrow (10\uparrow 100)$	$10\to (10\to 100)$	$\{10,\{10,100\}\}$	$E100\mathrm{\#}2$	$f_2^2(324)$
Гиггол (Giggol)	$\underset{\text{100 десяток}}{\underbrace{10^{10^{10^{{\cdots }^{10^{10}}}}}}}$	$10{\uparrow }^{2}100$	$10\to 100\to 2$	$=\{10,100,2\}$	$E1\mathrm{\#}100$	$f_3(100)$
Гаггол (Gaggol)	$\begin{array}{ccc}& & \underbrace{10^{10^{10^{{\cdots }^{10^{10}}}}}}\\ & & \underbrace{10^{10^{10^{{\cdots }^{10^{10}}}}}}\\ & & \underbrace{⋮}\\ & & \underbrace{10^{10^{10^{{\cdots }^{10^{10}}}}}}\\ & & \text{10 десяток}\end{array}\}\text{100 }$	$10{\uparrow }^{3}100$	$10\to 100\to 3$	$=\{10,100,3\}$	$E1\mathrm{\#}1\mathrm{\#}100$	$f_4(100)$
Бугол (Boogol)		$10{\uparrow }^{100}100$	$10\to 10\to 100$	$=\{10,10,100\}$	$E100\mathrm{\#}\mathrm{\#}100$	$f_{101}(100)$
Число Грема		$=\begin{array}{ccc}& & \underbrace{3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3}\\ & & \underbrace{3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3}\\ & & \underbrace{⋮}\\ & & \underbrace{3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3}\\ & & 3{\uparrow }^{4}3\text{ стрілок}\end{array}\}\text{64 }$	$3\to 3\to 65\to 2$	$\{3,65,1,2\}$	$E(3)3\mathrm{\#}\mathrm{\#}4\mathrm{\#}64$	$f_{\omega +1}(64)$
Траддом (Traddom)			$10\to 10\to 11\to 4$	$\{10,10,3,2\}$	$E10\mathrm{\#}\mathrm{\#}10\mathrm{\#}\mathrm{\#}4$	$=f_{\omega +3}(10)$
Биггол (Biggol)			$10\to 10\to 10\to 100$	$=\{10,10,100,2\}$	$E100\mathrm{\#}\mathrm{\#}100\mathrm{\#}\mathrm{\#}100$	$f_{\omega .2}(100)$
Трултом (Trultom)			$10\to 10\to 10\to 10\to 11$	$\{10,10,10,3\}$	$E10\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}4$	$=f_{\omega .3}(10)$
Тругол (Troogol)			$\underset{101\to }{\underbrace{10\to 10\to \cdots \to 10}}$	$=\{10,10,10,100\}$	$E100\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}100$	$f_{{\omega }^2}(100)$

Числа наведені нижче знаходяться вже за межами застосування нотацій Кнута і Конвея.

Ім'я числа	Нотація Бауерса (BEAF)	Нотація Сайбіана	Швидкозростаюча ієрархія
Квадругол (Quadroogol)	$=\{10,10,10,10,100\}$	$E100\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}100$	$f_{{\omega }^3}(100)$
Квадрексом (Quadrexom)	$\{10,10,10,10,10,10\}$	$E10\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}10$	$=f_{{\omega }^4}(10)$
Квинтугол (Quintoogol)	$=\{10,10,10,10,10,100\}$	$E100\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}100$	$f_{{\omega }^4}(100)$
Губол (Goobol)	$=\{10,100(1)2\}=$ $=\underset{100\text{десяток}}{\underbrace{\{10,10,10,\cdots ,10,10\}}}$	$E100{\mathrm{\#}}^{99}100$	$f_{{\omega }^{98}}(100)$
Бубол (Boobol)	$=\{10,10,100(1)2\}$	E100#^#100##100	$f_{{\omega }^{\omega }+99}(100)$
Трубол (Troobol)	$=\{10,10,10,100(1)2\}$	E100#^#100###101	$f_{{\omega }^{\omega }+{\omega }^2}(100)$
Квадрубол (Quadroobol)	$=\{10,10,10,10,100(1)2\}$	E100#^#100####101	$f_{{\omega }^{\omega }+{\omega }^3}(100)$
Гутрол (Gootrol)	$=\{10,100(1)3\}$	E100#^#100#^#100	$f_{{\omega }^{\omega }.2}(100)$
Госсол (Gossol)	$=\{10,10(1)100\}$	E100#^#*#100	$f_{{\omega }^{\omega +1}}(100)$
Моссол (Mossol)	$=\{10,10(1)10,100\}$	E100#^#*##100	$f_{{\omega }^{\omega +2}}(100)$
Боссол (Bossol)	$=\{10,10(1)10,10,100\}$	E100#^#*###100	$f_{{\omega }^{\omega +3}}(100)$
Троссол (Trossol)	$=\{10,10(1)10,10,10,100\}$	E100#^#*####100	$f_{{\omega }^{\omega +4}}(100)$
Дубол (Dubol)	$=\{10,100(1)(1)2\}$	E100#^#*#^#100	$f_{{\omega }^{\omega .2}}(100)$
Дутрол (Dutrol)	$=\{10,100(1)(1)3\}$	E100#^#*#^#100#^#*#^#100	$f_{{\omega }^{\omega .2}.2}(100)$
Колоссол (Colossol)	$=\{10,10(3)2\}$	E10#^###10	$f_{{\omega }^{{\omega }^3}}(10)$
Тероссол (Terossol)	$=\{10,10(4)2\}$	E10#^####10	$f_{{\omega }^{{\omega }^4}}(10)$
Петоссол (Petossol)	$=\{10,10(5)2\}$	E10#^#####10	$f_{{\omega }^{{\omega }^5}}(10)$
Гонгулус (Gongulus)	$=\{10,10(100)2\}$	E10#^#^#100	$f_{{\omega }^{{\omega }^{100}}}(10)$
Годтосол (Godtothol)	$\{100,100((1)1)2\}$	=E100#^#^#^#100	$f_{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}}(100)$
Годтопол (Godtopol)	$\{100,100(((1)1)1)2\}$	=E100#^#^#^#^#^#100	$f_{\omega \uparrow \uparrow 6}(100)$
Годоктол (Godoctol)	$\{100,100((((0,1)1)1)1)2\}$	=E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100	$f_{\omega \uparrow \uparrow 9}(100)$
Декотетром (Dekotetrom)	$X{\uparrow }^{2}9\mathrm{\&}10$	E10#^^#10	$=f_{\omega \uparrow \uparrow 10}(10)$
Гоппатос (Goppatoth)	$=10\uparrow \uparrow 100\mathrm{\&}10$	E10#^^#101	$f_{{\epsilon }_0}(101)$
Тесракросс (Tethracross)	$X{\uparrow }^3{X}^2\mathrm{\&}100$	=E100#^^##100	$f_{{\zeta }_0}(100)$
Тесракубор (Tethracubor)	$X{\uparrow }^{4}101\mathrm{\&}100$	=E100#^^###100	$f_{{\eta }_0}(100)$
Тесратерон (Tethrateron)	$X{\uparrow }^{5}101\mathrm{\&}100$	=E100#^^####100	$f_{\phi (4,0)}(100)$
Пентаксулум (Pentacthulhum)	$\{X,X,1,2\}\mathrm{\&}100$	=E100#^^^#100	$f_{{\mathrm{\Gamma }}_0}(99)$
Гексаксулум (Hexacthulhum)	$\{X,X,1,3\}\mathrm{\&}100$	=E100#^^^^#100	$f_{\phi (2,0,0)}(99)$
Годсгодгулус (Godsgodgulus)	$\{X,X,1,99\}\mathrm{\&}100$	=E100#^{100}^#100	$f_{\phi (98,0,0)}(99)$
TREE(3)			$f_{\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }\omega )}(3)$

Див. також

• Швидкозростаюча ієрархія
• Число Грема