Відносна внутрішність

У математиці, відносна внутрішність множини — це удосконалення поняття внутрішньості, яке часто більш корисне, коли маємо справу з маловимірними множинами, розташованими у багатовимірному просторі. Інтуїтивно, відносна внутрішність множини містить усі точки, які не на «межі» множини, відносно найменшого підпростору, в якому вона лежить.

Формально, відносна внутрішність множини S (позначається $\mathrm{relint}(S)$) визначена як її внутрішність у афінній оболонці S. Інакше кажучи,

$\mathrm{relint}(S):=\{x\in S:\mathrm{\exists }ϵ>0,N_{ϵ}(x)\cap \mathrm{aff}(S)\subseteq S\},$

де $\mathrm{aff}(S)$ — це афінна оболонка S і $N_{ϵ}(x)$ — куля радіусу $ϵ$ із центром у $x$. Для побудови можна використовувати будь-яку метрику; всі метрики визначають одну й ту саму множину як відносну внутрішність.

Для будь-якої непорожньої опуклої множини $C\subseteq {ℝ}^n$ відносну внутрішність можна визначити як

$\mathrm{relint}(C):=\{x\in C:\mathrm{\forall }y\in C\mathrm{\exists }\lambda >1:\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}.$

Приклад

Розглянемо квадрат у $(x_1,x_2)$-площині в ${ℝ}^3,$ визначений як

$C=\{x\in {ℝ}^3|-1\le x_1\le 1,-1\le x_2\le 1,x_3=0\}.$

Його афінна оболонка це $(x_1,x_2)$-площина, тобто, $\mathrm{aff}(C)=\{x\in {ℝ}^3|x_3=0\}.$ Внутрішність $C$ є порожньою, але відносна внутрішність така

$\mathrm{relint}(C)=\{x\in {ℝ}^3|-1<x_1<1,-1<x_2<1,x_3=0\}.$

Її границя (у ${ℝ}^3$) це сама множина; її відносна границя це її обрис,

$\{x\in {ℝ}^3|\max \{|x_1|,|x_2|\}=1,x_3=0\}.$