Рівняння Ейлера (динаміка твердого тіла)

Ейлерові рівняння руху — векторні квазілінійні звичайні диференціальні рівняння першого порядку, що в класичній механіці описують обертання твердого тіла, використовуючи обертову систему координат, осі якої прикріплені до тіла і вирівняні по його головних осях інерції. Їхня загальна форма така:

$𝐈\cdot \dot{\mathit{\omega }}+\mathit{\omega }\times (𝐈\cdot \mathit{\omega })=𝐌.$

де M — момент сили, що діє на тіло, I — тензор інерції, а ω — кутова швидкість щодо головних осей.

Отримання

Для отримання рівнянь Ейлера потрібен закон збереження імпульсу $𝑳=M{𝒗}_G$ і закон збереження моменту імпульсу $𝑯=𝐈\mathit{\omega }$, де ${𝒗}_G$ — вектор швидкості центру мас.

Збереження імпульсу вимагає, щоб $\dot{𝑳}=𝑭.$ Збереження моменту імпульсу щодо центру мас вимагає, щоб ${\dot{𝑯}}_G={𝑴}_G.$

Розглянемо довільний рух тіла щодо його центру мас. Спочатку спробуємо вивчати його в інерційній системі координат. У певну мить ми можемо обчислити момент імпульсу тіла як $𝑯=𝐈\mathit{\omega }.$ Спочатку ми, звісно, вирівнюємо нашу систему координат із головними осями тіла. Ми можемо записати

${𝑴}_G=\dot{𝑯}=d/dt(𝐈\mathit{\omega })=\dot{𝐈}\mathit{\omega }+𝐈\dot{\mathit{\omega }}.$

Так можна було б зробити, але складність полягає у відстежуванні $\dot{𝐈}$ у інерційній системі координат. Осі інерційної системи, хоч з початку і вирівняні з головними осями, з часом будуть змінюватись. Отже, якщо ми розглядаємо не сферу, то нам не вдасться далеко просунутись із цим підходом.

Ми сформулюємо наше рівняння у системі координат, прив'язаній до тіла. Це вимагатиме відстежувати рух тіла, але тензорі інерції не залежатиме від часу. У будь-яку мить зміна $𝑯$ складатиметься з власне зміни в часі $\dot{𝑯}$ плюс ефект миттєвого обертання осей завдяки $\mathit{\omega }:$

$\dot{𝑯}=𝐈\dot{\mathit{\omega }}+\mathit{\omega }\times 𝑯.$

Тобто,

$𝑴=𝐈\dot{\mathit{\omega }}+\mathit{\omega }\times 𝑯.$

Якщо ми вибрали головні осі, тоді ми можемо виразити момент імпульсу через момент інерції відносно головних осей. Оскільки відносно головних осей інерції тензор інерції має діагональну форму, то можна записати:

$\begin{array}{cc}{M}_x& =I_{xx}{\dot{\omega }}_x+(I_{zz}-I_{yy}){\omega }_y{\omega }_z\\ M_y& =I_{yy}{\dot{\omega }}_y+(I_{xx}-I_{zz}){\omega }_z{\omega }_x\\ M_z& =I_{zz}{\dot{\omega }}_z+(I_{yy}-I_{xx}){\omega }_x{\omega }_y\end{array}$

Посилання

• Шаблон:Cite web