Мотивне інтегрування

Моти́вне інтегрува́ння — це інтегрування зі значеннями в кільці мотивів, тобто класів еквівалентності алгебричних многовидів.

Мотивне інтегрування було започатковане Концевичем при доведенні гіпотези Батирева. Нехай X - гладкий комплексний проективний алгебричний многовид Калабі-Яу вимірності n (що для наших потреб означає існування голоморфної n-форми, яка ніде не перетворюється в 0). Інакше кажучи, n-тий зовнішній степінь ${\mathrm{\Omega }}^n$ голоморфного кодотичного розшарування є тривіальним одновимірним розшаруванням. За допомогою p-адичного інтегрування Батирев довів, що біраціонально еквівалентні гладкі многовиди Калабі-Яу $X$, $X^{\prime }$ мають однакові числа Бетті, $\dim H^i(X,ℂ)=\dim H^i(X^{\prime },ℂ)$. Концевич довів за допомогою мотивного інтегрування, що такі ж $X$, $X^{\prime }$ мають однакові числа Годжа $\dim H^i(X,{\mathrm{\Omega }}^j)=\dim H^i(X^{\prime },{\mathrm{\Omega }}^j)$.

Геометричний підхід

Годжева характеристика $E(X)=\sum (-1{)}^i\dim H^i(X,{\mathrm{\Omega }}^j)u^i{v}^j\in \mathbb{Z}[u,v]$ є функцією ${\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}}_{ℂ}\to K_0({\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}}_{ℂ})\to \mathbb{Z}[u,v]$ з категорії комплексних многовидів (відокремлюваних редукованих схем скінченного типу), де наївне кільце Ґротендіка $K_0({\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}}_{ℂ})$ - абелева група, породжена класами ізоморфізму [X] таких многовидів зі співвідношеннями $[X]=[Y]+[X-Y]$ для замкненого (за Зариським) підмноговиду $Y\subset X$. Добуток заданий як $[X]\cdot [Y]=[X{\times }_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}ℂ}Y]$. Клас ізоморфізму прямої позначається $𝕃=[{𝔸}^1]=[{ℂ}^1]$. Нехай $f:Y\to X$ - відтинково тривіальне розшарування з шаром Z. Це означає, що X можна записати як скінченне диз'юнктивне об'єднання $\cup X_i$ локально замкнених підмножин $X_i$, таких, що $f|=(f^{-1}{X}_i\cong X_i\times Z\to X_i)$ є проєкцією. Тоді $[Y]=[X]\cdot [Z]$ в $K_0({\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}}_{ℂ})$.

Кажемо, що $\tau \in K_0({\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}}_{ℂ})$ є d-вимірним, $\dim \tau =d$, якщо цей елемент представляється як $\tau =\sum a_i[X_i]$, $a_i\in \mathbb{Z}$, $\dim X_i\le d$, і не існує представлення з $\dim X_i\le d-1$ для всіх i. За означенням $\dim [\mathrm{\varnothing }]=-\mathrm{\infty }$. Вимірність поширюється на локалізацію ${ℳ}_{ℂ}=K_0({\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}}_{ℂ})[{𝕃}^{-1}]$ вимогою $\dim {𝕃}^{-1}=-1$. Функція $\exp (\dim ):{ℳ}_{ℂ}\to \mathbb{Z}\cup \{-\mathrm{\infty }\}\to {ℝ}_{\ge 0}$ є неархімедовою нормою на ${ℳ}_{ℂ}$. Поповнення ${\widehat{ℳ}}_{ℂ}$ у цій нормі є кільцем, у якому приймають значення мотивні міри і мотивні інтеграли. Ряд $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\tau }_i$ з елементами ${\tau }_i\in {ℳ}_{ℂ}$ збігається в ${\widehat{ℳ}}_{ℂ}\iff {\tau }_i\to 0\iff \dim {\tau }_i\to -\mathrm{\infty }$ при $i\to \mathrm{\infty }$.

Простір, по якому відбувається інтегрування, це простір дуг, або $\mathrm{\infty }$-струменів ${𝒥}_{\mathrm{\infty }}(X)$ для даного гладкого комплексного проективного многовида X вимірності n. Схема m-струменів ${𝒥}_m(X)$ визначається природною бієкцією

${\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}}_{ℂ}(Z\times \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}ℂ[t]/t^{m+1},X)\cong {\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}}_{ℂ}(Z,{𝒥}_m(X))$

для всіх $ℂ$-схем Z. В дійсності, ${𝒥}_m(X)$ є гладким многовидом і ${𝔸}^{mn}$-розшаруванням над X, зокрема, $\dim {𝒥}_m(X)=n(m+1)$. Точніше, ${𝒥}_m(X)$ є ${𝔸}^n$-розшаруванням над ${𝒥}_{m-1}(X)$. Простір дуг, або $\mathrm{\infty }$-струменів, ${𝒥}_{\mathrm{\infty }}(X)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{⟵}{𝒥}_m(X)$, задовольняє природній бієкції

${\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}}_{ℂ}(Z\times \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}ℂ[[t]],X)\cong {\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}}_{ℂ}(Z,{𝒥}_{\mathrm{\infty }}(X)).$

Підмножина $A\subset {𝒥}_{\mathrm{\infty }}(X)$ називається циліндричною, якщо $A={\pi }_m^{-1}B$ для деякої конструктивної підмножини $B\subset {𝒥}_m(X)$, де ${\pi }_m:{𝒥}_{\mathrm{\infty }}(X)\to {𝒥}_m(X)$ - канонічне відображення. Алгебра конструктивних підмножин схеми - це найменша алгебра, що містить підмножини, замкнені в топології Зариського. Об'ємом (мірою) циліндричної множини A назвемо елемент ${\mu }_X(A)=[B]\cdot {𝕃}^{-nm}\in {ℳ}_{ℂ}$. Він не залежить від вибору m: ${\mu }_X(A)=[({\pi }_m^{m+k}{)}^{-1}B]\cdot {𝕃}^{-n(m+k)}$, $k\ge 0$, оскільки ${\pi }_m^{m+k}:{𝒥}_{m+k}(X)\to {𝒥}_m(X)$ - локально тривіальне ${𝔸}^k$-розшарування. Клас циліндричних множин поширюється до класу вимірних множин. Серед вимірних функцій міститься функція визначена порядком дотичності дуги до підсхеми $Y\subset X$, визначеної пучком ідеалів ${ℐ}_Y$. Отже, функція ${\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_Y:{𝒥}_{\mathrm{\infty }}(X)\to \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ співставляє дузі $\vartheta :{𝒪}_X\to ℂ[[t]]$ супремум ${\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_Y(\vartheta )$ поміж всіх $e\ge 0$, таких, що $\vartheta ({ℐ}_Y)\subset (t^e)$. Тоді для $s\ge 0$ ${\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_Y^{-1}(s)$ є циліндричною множиною. Якщо підмноговид Y ніде не щільний в X, то ${\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_Y^{-1}(\mathrm{\infty })={𝒥}_{\mathrm{\infty }}(Y)$ є вимірною множиною міри 0. Мотивний інтеграл функції ${𝕃}^{-{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_Y}$ визначається як

$\underset{{𝒥}_{\mathrm{\infty }}(X)}{\int }{𝕃}^{-{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_Y}d{\mu }_X=\sum _{s=0}^{\mathrm{\infty }}\mu ({\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_Y^{-1}(s))\cdot {𝕃}^{-s}.$

Наприклад, для $Y=\mathrm{\varnothing }$ ${\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_Y\equiv 0$ і $\underset{{𝒥}_{\mathrm{\infty }}(X)}{\int }d{\mu }_X=[X]$. Для ефективного дивізора $Y=\sum _{i=1}^s{r}_i{D}_i$ ($r_i>0$) з носієм з нормальними перетинами і гладкими $D_i$ маємо

$\underset{{𝒥}_{\mathrm{\infty }}(X)}{\int }{𝕃}^{-{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_Y}d{\mu }_X=\sum _{J\subset \{1,\dots ,s\}}[D_J^{\circ }]\prod _{j\in J}\frac{𝕃-1}{{𝕃}^{r+1}-1}=\sum _{J\subset \{1,\dots ,s\}}\frac{[D_J^{\circ }]}{\prod _{j\in J}[{\mathbb{P}}^{r_j}]},$

де $D_J^{\circ }={\cap }_{j\in J}{D}_j-{\cup }_{j\notin J}{D}_j$.

Якщо $f:X^{″}\to X$ - власний біраціональний морфізм гладких $ℂ$-схем і D - ефективний дивізор на X, то

$\underset{{𝒥}_{\mathrm{\infty }}(X)}{\int }{𝕃}^{-{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_D}d{\mu }_X=\underset{{𝒥}_{\mathrm{\infty }}(X^{″})}{\int }{𝕃}^{-{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_{f^{-1}D+K_{X^{″}/X}}}d{\mu }_{X^{″}}$

(формула Концевича заміни змінних в мотивному інтегралі). Відносний канонічний дивізор $K_{X^{″}/X}$ визначається ідеалом Якобі для f. Ця формула застосована до відображень $X^{\prime }\leftarrow X^{″}\to X$ і дозволяє зробити висновок, що біраціонально еквівалентні $X^{\prime }$, $X$ мають однаковий об'єм $[X^{\prime }]=[X]\in {ℳ}_{ℂ}$, а, отже, і однакові числа Годжа.

Арифметичний підхід

В арифметичному підході мотивний об'єм співставляється не множинам, а формулам логіки з мови Денефа-Паса, що описує кільця дискретного нормування. На цьому шляху вдається обчислити деякі p-адичні інтеграли, які не піддаються прямому обчисленню. Денефом та Лезером доведена теорема про універсальність мотивного об'єму: нехай $\varphi$ - формула для кілець дискретного нормування; K - локально компактне неархімедове поле з кільцем цілих ${𝒪}_K$ та полем лишків ${𝔽}_q$, $q=p^m$; dx - міра Хаара на $K^n$, нормована умовою, що міра ${𝒪}_K^n$ - одиниця; $\sum _i{a}_i[X_i]{𝕃}^{-N_i}$ - мотивний об'єм $\varphi$ (збіжна сума многовидів над $\mathbb{Z}$). Якщо відкинути скінченне число простих p, то у решті випадків p-адичний об'єм може бути обчислений через мотивний об'єм як $\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\{x\in {𝒪}_K^n\mid {\varphi }^K(x)\},dx)=\sum _i{a}_i\mathrm{\#}{X}_i({𝔽}_q)q^{-N_i}$.

Посилання

• M. Blickle, A short course on geometric motivic integration

• J. Gordon, Y. Yaffe, An overview of arithmetic motivic integration Шаблон:Webarchive

• T. C. Hales, What is motivic measure? Шаблон:Webarchive

Джерела

• Енциклопедія Сучасної України