Осцилятор Ван дер Поля

Коливання при $\mu =5$.

Осцилятор Ван дер Поля є одним з класичних прикладів неконсервативного коливання в динамічних системах з нелінійним згасанням. Система задовольняє звичайне диференціальне рівняння другого порядку

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-\mu (1-x^2)\frac{dx}{dt}+x=0$,

де $x$ (насправді функція часу $x(t)$) означає позицію точки в одновимірному фазовому просторі, $\mu$ скалярний параметр який контролює нелінійність та згасання. Коли $\mu =0$, тобто коли згасання відсутнє, рівняння спрощується до (консервативного) гармонічного осцилятора

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+x=0.$

Двовимірна форма

Фазові траєкторії двовимірної системи при різних значеннях параметра $\mu$.

Коли $\mu >0$, нульовий розв'язок системи нестійкий. За допомогою теореми Ліенара можна довести що система має стійкий граничний цикл. Нехай $y=\dot{x}$, тоді систему можна записати у двовимірному просторі як

$\dot{x}=y$

$\dot{y}=\mu (1-x^2)y-x,$

або, якщо взяти $y=x-x^3/3-\dot{x}/\mu$,

$\dot{x}=\mu (x-\frac{1}{3}{x}^3-y)$

$\dot{y}=\frac{1}{\mu }x.$

Вимушені коливання

Детермінований хаос в системі Ван дер Поля з вимушеним коливанням. Параметр нелінійного загасання $\mu =8.53$, амплітуда $A=1.2$, кутова швидкість $\omega =2\pi /10$.

Осцилятор Ван дер Поля з вимушеними коливаннями під впливом зовнішньої періодичної сили можна записати наступним чином

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-\mu (1-x^2)\frac{dx}{dt}+x-A\sin (\omega t)=0,$

де $A$ задає амплітуду, а $\omega$ кутову швидкість.

Історія

Осцилятор був вперше досліджений голландським фізиком Балтазаром Ван дер Полом та був названий на його честь.

Рівняння Ліенара, назване на честь французького інженера Альфред-Марі Ліенара, є узагальненням системи Ван дер Поля.