Множина Віталі

Множина́ Віта́лі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував 1905 року італійський математик Джузепе Віталі.

Історія

1902 року Анрі Лебег у своїх лекціях «Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives», сформулював теорію міри і гадав, що вона може бути застосована до довільної обмеженої множини. Але поява контрприкладів розвіяла ці сподівання. Побудова таких невимірних множин завжди спирається на аксіому вибору.

Побудова

Введемо відношення еквівалентності $\sim$ на відрізку $[0,1]$:

$x\sim y⟺(x-y)\in \mathbb{Q}$ (дійсні числа еквівалентні, якщо їх різниця є раціональним числом).

Виберемо із кожного класу еквівалентності по одному елементу (тут ми користуємося аксіомою вибору), отримана множина $E$ буде невимірною.

Справді, якщо зсунути множину $E$ зліченну кількість разів на всі раціональні числа з відрізка $[-1,1]$, то об'єднання таких множин буде включати весь відрізок $[0,1]$ і саме буде включене у відрізок $[-1,2]$.

Припустимо, що множина $E$ має міру Лебега. Тоді можливі 2 випадки:

• Міра $E$ дорівнює нулю. Тоді міра відрізка $[0,1]$ (як зліченного об'єднання множин міри нуль) теж дорівнює нулю, що суперечить визначенню міри.
• Міра $E$ більша нуля. Тоді, аналогічно, міра відрізка $[-1,2]$ буде нескінченною, що знову суперечить визначенню.

В обох випадках приходимо до суперечності. Отже, множина Віталі не має міри Лебега.

Джерела

• Шаблон:Хаусдорф.Теория множеств
• Шаблон:Александров.Введение в теорию множеств и общую топологию