Рівняння рендерингу

Рівняння рендерингу визначає загальну кількість світла, випущеного з заданої точки x в заданому напрямку, яка враховує функцію вхідного випромінювання і двопроменеву функцію відбивної здатності.

У комп'ютерній графіці рівняння рендерингу — інтегральне рівняння, яке визначає кількість світлового випромінювання у певному напрямку як суму власного та відбитого випромінювань. Рівняння вперше було опубліковано в роботах David Immel і James Kajiya в 1986 р.

Різні алгоритми комп'ютерної графіки розв'язують це основне рівняння.

Фізичною основою рівняння є закон збереження енергії. Нехай L — це кількість випромінювання в заданому напрямку у заданій точці простору. Тоді кількість вихідного випромінювання (L_o) — це сума випроміненого (L_e) і відбитого світла. Відбите світло може бути поданим у вигляді суми випромінювання (L_i), що приходить по всім напрямкам, помноженого на коефіцієнт відбиття з даного кута.

Рівняння рендерингу має наступний вигляд:

$L_o(𝐱,\omega ,\lambda ,t)=L_e(𝐱,\omega ,\lambda ,t)+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}_r(𝐱,{\omega }^{\prime },\omega ,\lambda ,t)L_i(𝐱,{\omega }^{\prime },\lambda ,t)(-{\omega }^{\prime }\cdot 𝐧)d{\omega }^{\prime }$

де:

• $\lambda$ — довжина хвилі світла;
• $t$ — час;
• $L_o(𝐱,\omega ,\lambda ,t)$ — кількість випромінювання заданої довжини хвилі $\lambda$, яке приходить вздовж напрямку $\omega$ в час $t$, з заданої точки $𝐱$;
• $L_e(𝐱,\omega ,\lambda ,t)$ — випромінюване світло;
• $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\cdots d{\omega }^{\prime }$ — інтеграл по напівсфері вхідних напрямків;
• $f_r(𝐱,{\omega }^{\prime },\omega ,\lambda ,t)$ — двонаправлена функція розподілу відбиття, кількість випромінювання, відбитого від ${\omega }^{\prime }$ до $\omega$ в точці $𝐱$, в час $t$, на довжині хвилі $\lambda$;
• $L_i(𝐱,{\omega }^{\prime },\lambda ,t)$ — довжина хвилі $\lambda$ по вхідному напрямку до точки $𝐱$ з напрямку ${\omega }^{\prime }$ в час $t$;
• $-{\omega }^{\prime }\cdot 𝐧$ — поглинання вхідного випромінювання по заданому куту.

Рівняння має три особливості: воно лінійне, ізотропне і однорідне — тобто однакове для всіх напрямків і точок простору.