Аксіоматика Гільберта

Аксіоматика Гільберта — аксіоматика евклідової геометрії. Розроблена Гільбертом як повніша, ніж система аксіом Евкліда.

Неозначувані поняття

Неозначуваними поняттями в системі аксіом Гільберта є: точка, пряма, площина. Є також 3 елементарні відношення:

• Лежати між (стосується точок);
• Належати (стосовно точок і прямих, точок і площин, прямих і площин);
• Конгруентність (геометрична рівність; стосується відрізків, кутів, трикутників тощо). Позначається символом ≅.

Всі точки, прямі та площини вважаються різними, якщо не зазначено інше.

Аксіоми

Система з 20 аксіом поділена на 5 груп:

I. Аксіоми належності

• планіметричні:
  1. Якими б не були точки $A$ та $B$, існує пряма $l$, якій належать ці точки.
  2. Якими б не були дві різні точки $A$ та $B$, існує не більше однієї прямої, якій належать ці точки.
  3. Кожній прямій $\alpha$ належать принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, що не належать одній прямій.
• стереометричні:
  1. Якими б не були три точки $A$, $B$ та $C$, що не належать одній прямій, існує площина $\alpha$, якій належать ці три точки. Кожній площині належить принаймні одна точка.
  2. Якими б не були три точки $A$, $B$ та $C$, що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, якій належать ці три точки.
  3. Якщо дві різні точки $A$ та $B$, що належать одній прямій $l$, належать деякій площині $\alpha$, то кожна точка, що належить прямій $l$, належить вказаній площині.
  4. Якщо існує одна точка $A$, яка належить двом площинам $\alpha$ та $\beta$, то існує принаймні ще одна точка $B$, яка належить обом цим площинам.
  5. Існують принамні чотири точки, які не належать одній площині.

II. Аксіоми порядку

1. Якщо точка $B$ прямої $l$ лежить між точками $A$ та $C$, то $A$, $B$ та $C$ — різні точки прямої, причому $B$ лежить також між точками $C$ та $A$.
2. Для довільних двох різних точок $A$ та $C$ на прямій, що ними визначається, існує принаймні одна точка $B$, що лежить між точками $A$ та $C$, та існує принаймні одна точка $D$, така що точка $C$ лежить між точками $A$ та $D$.
3. Серед довільних трьох точок, які лежать на одній прямій, існує одна і лише одна точка, що лежить між двома іншими.
4. Аксіома Паша. Якщо у довільній площині дано трикутник $ABC$ і довільну пряму, що не проходить через одну з його вершин і перетинає сторону $AB$, то ця пряма перетне одну і лише одну з двох інших сторін $AC$ чи $BC$.

III. Аксіоми конгруентності

1. Якщо $A$ та $B$ — дві точки прямої $l$, $A^{\prime }$ — точка на цій же прямій чи на іншій прямій $l^{\prime }$, то по задану від точки $A^{\prime }$ сторону прямої $l^{\prime }$ знайдеться, і при цьому лише одна, точка $B^{\prime }$, така що відрізок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ конгруентний відрізку $AB$. Кожен відрізок $AB$ конгруентний відрізку $BA$. 
2. Якщо відрізки $A^{\prime }{B}^{\prime }$ та $A^{″}{B}^{″}$ конгруентні одному і тому ж відрізку $AB$, то вони конгруентні між собою.
3. Нехай $AB$ та $BC$ — два відрізки прямої $l$, які не мають спільних внутрішніх точок, $A^{\prime }{B}^{\prime }$ і $B^{\prime }{C}^{\prime }$ — два відрізки тієї ж прямої чи іншої прямої $l^{\prime }$, які також не мають спільних внутрішніх точок. Тоді якщо відрізок $AB$ конгруентний відрізку $A^{\prime }{B}^{\prime }$, а відрізок $BC$ конгруентний відрізку $B^{\prime }{C}^{\prime }$, то відрізок $AC$ конгруентний відрізку $A^{\prime }{C}^{\prime }$.
4. Якщо дано кут $\mathrm{\angle }ABC$ та промінь $B^{\prime }{C}^{\prime }$, що лежить в площині даного кута, то існує рівно два промені $B^{\prime }D$ та $B^{\prime }E$, які також лежать в площині даного кута, такі, що $\mathrm{\angle }D{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ конгруентний $\mathrm{\angle }ABC$ та $\mathrm{\angle }E{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ конгруентний $\mathrm{\angle }ABC$. 
5. Якщо для двох трикутників $ABC$ та $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ мають місце конгруенції: $AB\cong A^{\prime }{B}^{\prime }$, $AC\cong A^{\prime }{C}^{\prime }$, $\mathrm{\angle }BAC\cong \mathrm{\angle }{B}^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }$, то завжди мають місце й конгруенції: $\mathrm{\angle }ABC\cong \mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $\mathrm{\angle }ACB\cong \mathrm{\angle }{A}^{\prime }{C}^{\prime }{B}^{\prime }$.

IV. Аксіома паралельності

Для аксіоми паралельності Гільберт обрав не евклідове формулювання, а еквівалентне йому та більш просте — аксіому Прокла:

1. Нехай $l$ — довільна пряма і $A$ — точка, що їй не належить; тоді в площині, яка визначається точкою $A$ й прямою $l$, можна провести не більше однієї прямої, яка проходить через $A$ і не перетинає $l$.

V. Аксіоми неперервності

1. Аксіома Архімеда. Нехай $A_1$ — довільна точка на прямій між довільними точками $A$ та $B$. Побудуємо точки $A_2$, $A_3$, $A_4$, … так, що точка $A_1$ знаходиться між точками $A$ та $A_2$, $A_2$ між $A_1$ та $A_3$, $A_3$ між $A_2$ та $A_4$ і т. д., при цьому відрізки $A{A}_1$, $A_1{A}_2$, $A_2{A}_3$, $A_3{A}_4$, . . . рівні між собою. Тоді завжди існує така точка $A_n$, що точка $B$ лежить між $A$ та $A_n$.
2. Аксіома повноти. Точки прямої (площини) утворюють таку систему точок, яку неможливо доповнити новими точками без порушення раніше встановлених аксіом.

21-а аксіома

Спочатку аксіоматика Гільберта містила ще й 21-у аксіому:

«Довільним чотирьом точкам на прямій можна присвоїти імена

$A$

,

$B$

,

$C$

, і

$D$

так, щоб точка

$B$

лежала між точками

$A$

і

$C$

, а також між

$A$

і

$D$

; точка

$C$

 — між

$A$

і

$D$

, а також між

$B$

і

$D$

».

Е. Г. Мур та Р. Л. Мур незалежно один від одного показали, що ця аксіома надлишкова і Е. Г. Мур в 1902 році опублікував цей результат у статті Transactions of the American Mathematical Society. Цю «аксіому» можна вивести з аксіом належності та порядку.

Повнота і несуперечність

Як довів Альфред Тарський (1951), аксіоматика Гільберта логічно повна, тобто будь-яке (формальне) висловлювання про геометричні поняття, що містяться в ній може бути доведено або спростоване. Вона також несуперечлива, якщо несуперечлива арифметика.

Історія

Аксіоматику евклідової геометрії було опубліковано Давидом Гільбертом у 1899 році у святковому томі «Festschrift», присвяченому відкриттю в Ґетінґені пам'ятника Карлу Фрідріху Гаусу та його другові фізику Вільгельму Веберу. Нині «Основи геометрії» перекладено багатьма мовами світу.

Інші системи аксіом

Догільбертові системи аксіом геометрії:

• Аксіоматика Евкліда
• Шаблон:Не перекладено
• Аксіоматика Пеано (включає поняття «рух»)
• Аксіоматика Веронезе
• Шаблон:Не перекладено (1899)

Подібні гільбертовій:

• Аксіоматика Кагана (1902)
• Аксіоматика Веблена (1904)
• Аксіоматика Колмогорова
• Аксіоматика Александрова
• Аксіоматика Погорєлова

Сучасні аксіоматики:

• Шаблон:Не перекладено
• Аксіоматика Біркгофа — містить «аксіому лінійки» та «аксіому транспортира». Її варіанти використовуються в більшості американських шкільних підручників, до неї близька аксіоматика Погорєлова.
• Аксіоматика Вейля — оперує неозначуваними поняттями точки та вільного вектора. Пряма та площина визначаються як множини точок.

Посилання

• Д. Гільберт. Основания геометрии. Шаблон:Webarchive Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. Л., «Сеятель», 1923. — 152 с.
• Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды. Шаблон:Webarchive
• GeoGebraКнига: Аксіоми геометрії (Гільберт) Шаблон:Webarchive