Умовна ймовірність

Шаблон:Основи теорії ймовірностей Умо́вна ймові́рність — ймовірність однієї події за умови, що інша подія вже відбулася.

Нехай $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ — фіксований ймовірнісний простір. Нехай $A,B\in ℱ$ дві випадкової події, причому $\mathbb{P}(B)>0$. Тоді умовною ймовірністю події $A$ при умові події $B$ називається

$\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}.$

Властивості

• Прямо з визначення очевидно випливає, що

$\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A|B)\mathbb{P}(B).$

• Якщо $\mathbb{P}(B)=0$, то умовна ймовірність, строго кажучи, не визначена. Проте іноді умовляються вважати її в цьому випадку рівною нулю .

• Умовна ймовірність є ймовірністю, тобто функція $\mathbb{Q}:ℱ\to ℝ$, задана формулою

$\mathbb{Q}(A)=\mathbb{P}(A|B),\mathrm{\forall }A\in ℱ,$

задовольняє усі аксіоми імовірнісної міри.

Статистична незалежність

Події $A$ і $B$ є статистично незалежними, якщо

$P(A\cap B)=P(A)P(B).$

Якщо $P(B)$ не нульова, це еквівалентне виразу

$P(A|B)=P(A).$

Так само, якщо $P(A)$ не дорівнює нулю, тоді

$P(B|A)=P(B).$

також еквівалентно.

Приклад

Якщо $A,B$ — несумісні події, тобто $A\cap B=\varnothing$ та $\mathbb{P}(A)>0,\mathbb{P}(B)>0$, тоді

$\mathbb{P}(A|B)=0$

та

$\mathbb{P}(B|A)=0$.

Див. також

• Незалежність подій;
• Умовне математичне сподівання;
• Формула повної ймовірності;
• Теорема Баєса.

Джерела

• Шаблон:Гнєденко.Курс теорії ймовірностей
• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
• Williams D., Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6