Трикутна матриця

Трику́тна ма́триця — квадратна матриця, всі елементи якої нижче або вище від головної діагоналі дорівнюють нулю.

Верхньотрикутна матриця — квадратна матриця, всі елементи якої нижче від головної діагоналі дорівнюють нулюШаблон:Sfn.

Нижньотрикутна матриця — квадратна матриця, всі елементи якої вище від головної діагоналі дорівнюють нулюШаблон:Sfn.

Унітрикутна матриця — трикутна матриця, діагональні елементи якої дорівнюють одиниці.

Матриця виду

$U=\left[\begin{array}{cccc}{u}_{1,1}& u_{1,2}& \dots & u_{1,n}\\ 0& u_{2,2}& \dots & u_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & u_{n,n}\end{array}\right]$

називається верхньотрикутною матрицею, а матриця виду

$L=\left[\begin{array}{cccc}{l}_{1,1}& 0& \dots & 0\\ l_{2,1}& l_{2,2}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ l_{n,1}& l_{n,2}& \dots & l_{n,n}\end{array}\right]$

називається нижньотрикутною матрицею. Змінна U (від Шаблон:Lang-en) звичайно використовується для позначення верхньотрикутної матриці, а змінна L (від Шаблон:Lang-en) — нижньотрикутної. Матриця, що є одночасно і верхньотрикутною, і нижньотрикутною, називається діагональною.

Властивості

Шаблон:Рамка Теорема (про приведення матриць до трикутного вигляду).
Будь-яку ненульову матрицю $a_{n\times n}$ шляхом елементарних перетворень над рядками і перестановкою стовпців можна привести до трикутного вигляду. Шаблон:/рамка

Трикутні матриці використовуються насамперед при розв'язку лінійних систем рівнянь, коли матриця системи (в процесі прямого ходу) зводиться до трикутного вигляду. Вирішення систем лінійних рівнянь з трикутною матрицею (зворотний хід) не представляє складнощів. Основні властивості:

• Визначник трикутної матриці дорівнює добутку її діагональних елементів.
• Визначник унітрикутної матриці дорівнює одиниці.
• Власні числа трикутної матриці — це елементи головної діагоналі.
• Множина невироджених верхньотрикутних матриць порядку n по множенню з елементами з поля k утворює групу, яка позначається ut(n, k) або ut_n (k).
• Множина невироджених нижньотрикутних матриць порядку n по множенню з елементами з поля k утворює групу, яка позначається lt(n, k) або lt_n (k).
• Множина верхніх унітрикутних матриць з елементами з поля k утворює підгрупу ut_n (k) по множенню, яка позначається sut(n, k) або sut_n (k). Аналогічна підгрупа нижніх унітрикутних матриць позначається slt(n, k) або slt_n (k).
• Множина всіх верхньотрикутних матриць з елементами з кільця до утворює підалгебру алгебри квадратних матриць. Аналогічне твердження справедливе для нижньотрикутних матриць.
• Група ut_n вирішувана, а її унітрикутна підгрупа sut_n нільпотентна.

Пряме та зворотне підставляння

Матричне рівняння у вигляді $𝐋𝐱=𝐛$ або $𝐔𝐱=𝐛$ дуже легко розв'язати за допомогою ітеративного процесу відомого як пряме підставляння для нижньотрикутних матриць і, аналогічно, зворотне підставляння для верхньотрикутних мариць.

Пряме підставляння

Матричне рівняння Lx = b можна записати як систему лінійних рівнянь

$\begin{array}{ccccccc}{l}_{1,1}{x}_1& & & & & =& b_1\\ l_{2,1}{x}_1& +& l_{2,2}{x}_2& & & =& b_2\\ ⋮& & ⋮& \ddots & & & ⋮\\ l_{m,1}{x}_1& +& l_{m,2}{x}_2& +\cdots +& l_{m,m}{x}_m& =& b_m\end{array}$

Зауважимо те, що перше рівняння ($l_{1,1}{x}_1=b_1$) містить лише $x_1$, отже його можна розв'язати для $x_1.$ Друге рівняння містить лише $x_1$ і $x_2,$ отже його можна розв'язати підставивши вже отримане значення для $x_1$. Продовжуючи таким чином, $k$-те рівняння містить лише $x_1,\dots ,x_k$, і його можна розв'язати щодо $x_k,$ використовуючи попередньо отримані значення $x_1,\dots ,x_{k-1}.$

У результаті маємо таку формулу:

$x_1=\frac{b_1}{l_{1,1}},$

$x_2=\frac{b_2-l_{2,1}{x}_1}{l_{2,2}},$

$⋮$

$x_m=\frac{b_m-\sum _{i=1}^{m-1}{l}_{m,i}{x}_i}{l_{m,m}}.$

Матричне рівняння для верхньотрикутної матриці $U$ можна розв'язати аналогічно, лише в зворотньому порядку.

Див. також

• Система лінійних рівнянь алгебри
• Елементарні перетворення матриці
• Матриця Гессенберга

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Книга