Скалярна проєкція

Якщо кут 0° ≤ θ ≤ 90°, то скалярна проєкція a на b збігається з довжиною проєкції вектора.

Векторна проєкція a на b (a₁), вектор відхилення a від b (a₂).

У математиці, скалярна проєкція вектора $𝐚$ на вектор $𝐛$, яка також називається скалярним компонентом вектора $𝐚$ по напрямку вектора $𝐛$, задається у вигляді:

$s=|𝐚|\cos \theta =𝐚\cdot \widehat{𝐛},$

де оператор $\cdot$ позначає скалярний добуток, $\widehat{𝐛}$ — це одиничний вектор по напрямку $𝐛$, $|𝐚|$ — це довжина вектора $𝐚$, і $\theta$ — кут між $𝐚$ і $𝐛$.

Скалярна проєкція — це скаляр, значення якого дорівнює евклідовій нормі ортогональної проєкції вектора $𝐚$ на $𝐛$, і береться зі знаком мінус, якщо проєкція має протилежний напрямок відносно напрямку вектора $𝐛$.

Вектор, отриманий як добуток скалярної проєкції $𝐚$ на $𝐛$ на одиничний вектор $\widehat{𝐛}$ називається векторною проєкцією $𝐚$ на $𝐛$.

Визначення засноване на куті θ

Якщо відомий кут $\theta$ між векторами $𝐚$ і $𝐛$, то скалярна проєкція $𝐚$ на $𝐛$ може бути розрахована з використанням такого виразу

$s=|𝐚|\cos \theta .$

Визначення в термінах a і b

Якщо кут $\theta$ не відомий, косинус $\theta$ може бути розрахований через вектори $𝐚$ і $𝐛$, використовуючи таку властивість скалярного добутку $𝐚\cdot 𝐛$:

$\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐚||𝐛|}=\cos \theta$

Згідно з цією властивістю, визначення скалярної проєкції $s$ буде виглядати таким чином:

$s=|𝐚|\cos \theta =|𝐚|\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐚||𝐛|}=\frac{𝐚\cdot 𝐛}{|𝐛|}$

Властивості

Скалярна проєкція матиме негативний знак, якщо $90<\theta ⩽180$ градусів. Це збігається з відповідною векторною проєкцією евклідової норми, якщо кут менший за 90°. Більш конкретно, якщо векторна проєкція позначається як ${𝐚}_1$ а її довжина $|{𝐚}_1|$:

$s=|{𝐚}_1|,$ якщо $0<\theta ⩽90$ градусів,

$s=-|{𝐚}_1|,$ якщо $90<\theta ⩽180$ градусів.

Див. також

• Скалярний добуток
• Векторний добуток
• Проєкція вектора