Простір стовпців (рядків) матриці

𝐀 = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})

задає лінійне відображення (оператор) з простору $ℝ^{n}$ в простір $ℝ^{m}$ .

Рядки матриці A є елементами векторного простору $ℝ^{n}$ , а стовпці — елементами $ℝ^{m}$ .

Властивості

Лінійна оболонка рядків матриці $A$ є лінійним підпростором простору $ℝ^{n}$ .
Лінійна оболонка стовпців матриці $A$ є лінійним підпростором простору $ℝ^{m}$ .

Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцях збігається з рангом по рядках.

Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:

Назва	Визначення	Простір в якому існує	Розмірність
простір стовпців чи образ	im(A) чи range(A)	$ℝ^{m}$	r
нульпростір чи ядро	ker(A) чи null(A)	$ℝ^{n}$	n — r
простір рядків чи Шаблон:Iw	im(A^T) чи range(A^T)	$ℝ^{n}$	r
лівий нульпростір чи коядро	ker(A^T) чи null(A^T)	$ℝ^{m}$	m — r

В $ℝ^{n} \ker (A) = (i m (A^{T}))^{⊥}$ , тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
В $ℝ^{m} \ker (A^{T}) = (i m (A))^{⊥}$ , тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.