Діагонально панівна матриця

Діагонально панівна матриця — матриця у якої для кожного рядка, абсолютна величина діагонального елементу більша або дорівнює сумі величин усіх інших (недіагональних) елементів цього рядка. Тобто, у матриці $A$ панівна діагональ якщо

$|a_{ii}|\ge \sum _{j\ne i}|a_{ij}|,\mathrm{\forall }i.$

Зауважте, що це визначення послуговується слабкою нерівністю і, через це іноді його називають слабке діагональне панування. Якщо використати строгу нерівність (>), його називають строге діагональне панування. Термін діагональне панування може означати як строге так і слабке діагональне панування, залежно від контексту.

Приклади

Матриця

$A=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ -1& 2& 4\end{array}\right]$

дає

$|a_{11}|\ge |a_{12}|+|a_{13}|$   оскільки $|3|\ge |-2|+|1|$

$|a_{22}|\ge |a_{21}|+|a_{23}|$   оскільки $|-3|\ge |1|+|2|$

$|a_{33}|\ge |a_{31}|+|a_{32}|$   оскільки $|4|\ge |-1|+|2|$.

Через те, що величина кожного діагонального елементу більша або дорівнює сумі величин елементів у рядку, кажуть, що матриця $𝐀$ діагонально панівна або має панівну діагональ.

Матриця

$B=\left[\begin{array}{ccc}-2& 2& 1\\ 1& 3& 2\\ 1& -2& 0\end{array}\right]$

Але тут,

$|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|$   оскільки $|-2|<|2|+|1|$

$|b_{22}|\ge |b_{21}|+|b_{23}|$   оскільки $|3|\ge |1|+|2|$

$|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|$   оскільки $|0|<|1|+|-2|$.

З того, що величини $|b_{11}|$ і $|b_{33}|$ менші ніж величини сум елементів у відповідних рядках, $𝐁$ не є діагонально панівною.

Матриця

$C=\left[\begin{array}{ccc}-4& 2& 1\\ 1& 6& 2\\ 1& -2& 5\end{array}\right]$

дає

$|c_{11}|\ge |c_{12}|+|c_{13}|$   оскільки $|-4|>|2|+|1|$

$|c_{22}|\ge |c_{21}|+|c_{23}|$   оскільки $|6|>|1|+|2|$

$|c_{33}|\ge |c_{31}|+|c_{32}|$   оскільки $|5|>|1|+|-2|$.

Тут, у кожному рядку, величина діагонального елементу більша ніж відповідна сума елементів рядка, $𝐂$ є строго діагонально панівною матрицею.

Властивості

• Строго діагонально панівна матриця є невиродженою. Цей результат можна довести використовуючи критерій регулярності Адамара чи круги Гершгорина.

• Ермітова матриця з панівною діагоналлю $A$ з дійсними невід'ємними діагональними елементами є невід'ємно означеною.

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Хорн.Джонсон.Матричний аналіз