Рівняння кабестана

Рівняння кабестана — пов'язує силу утримання і силу навантаження, якщо гнучкий ремінь обмотаний навколо циліндра (лебідки, коловорота, кабестана).

Формула така:

$T_{\text{load}}=T_{\text{hold}}{e}^{\mu \varphi }$

Отримання

На кожному малому сегменті, що покриває кут $d\theta ,$ розтяг мотузки збільшується від $T$ до $T+dT.$ Тоді нормальна сила — це диференціал $dN,$ бо вона припадає на диференціал довжини. Сила тертя $\mu dN,$ і діє супротив сковзанню. Рівновага в напрямку $x$ вимагає, щоб сума всіх сил у цьому напрямку була нульовою,

$\sum F_x=0,$

$T\cos \frac{d\theta }{2}+\mu (dN)-(T+dT)\cos \frac{d\theta }{2}=0,$

якщо згадати що косинус кута близького до нуля є одиницею, то формула спрощується до

$\mu dN=dT.$

Аналогічно за $y$ напрямком:

$dN-(T+dT)\sin \frac{d\theta }{2}+t\sin \frac{d\theta }{2}=0,$

що спрощується до

$dN=Td\theta .$

З рівнянь по $x$ і $y$ напрямках можна отримати:

$\frac{dT}{T}=\mu d\theta .$

Інтегруючи від $T_1$ до $T_2$ отримуємо:

$\underset{T_1}{\overset{T_2}{\int }}\frac{dT}{T}=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\mu d\theta ,$

$\ln \frac{T_2}{T_1}=\mu \phi ,$

$T_2=T_1{e}^{\mu \phi }.$

Джерела

• The Mechanics of Friction in Rope Rescue Шаблон:Ref-en