Теорема перпендикулярних осей

Теорему перпендикулярних осей — можна використати для визначення моменту інерції твердого тіла, що цілком лежить у площині, щодо осі перепендикулярної до цієї площини, якщо ми знаємо моменти інерції об'єкта щодо двох перпендикулярних осей, які лежать в площині. Всі осі мають проходити через одну точку в площині.

Визначимо перпендикулярні осі $x$, $y$ і $z$ (які зустрічаються в початку координат $O$) так, що тіло лежить в площині $xy$ і вісь $z$ перпендикулярна до площини тіла. Нехай I_x, I_y і I_z це моменти інерції щодо x, y, z відповідно, теорема перпендикулярних осей стверджує, що

$I_z=I_x+I_y$

Це правило можна застосовувати із теоремою Гюйгенса — Штейнера і правилом розтягнення для віднайдення моментів інерції різних форм.

Виведення

Говорячи про декартові координати, момент інерції плоского тіла навколо осі $z$ є:

$I_z=\int (x^2+y^2)dm=\int x^{2}dm+\int y^{2}dm=I_y+I_x$

В площині, $z=0$, отже ці два доданки є моментами інерції навколо осей $y$ і $x$ відповідно, звідки теорема. Зворотне твердження виводиться подібним чином.

Зауважте, що $\int x^{2}dm=I_y\ne I_x$ бо в $\int r^{2}dm$, r вимірює відстань від осі обертання, отже у випадку обертання навколо осі y, відхилення точки від осі обертання дорівнює її x-координаті.

Див. також

• Теорема Гюйгенса — Штейнера (паралельних осей)