Марковська мережа

Ма́рковська мере́жа, або Ма́рковське випадко́ве по́ле — у теорії ймовірностей, це графова модель, в якій множина випадкових величин з Марковською властивістю описується неорієнтованим графом.

Відрізнається від Баєсової мережі, в якої граф орієнтований та ациклічний, тоді як граф Марковської мережі неорієнтований і, відповідно, може мати цикли.

Означення

Неорієнтований граф $G=(V,E)$, множина випадкових величин ${\xi }_k$ утворюють Марковське випадкове поле (Марковську мережу), якщо вони задовільняють умові Маркова:

$\mathrm{\forall }x\in XP({\xi }_k=x_k|{\xi }_{V\setminus \{k\}}=x_{V\setminus \{k\}})=P({\xi }_k=x_k|{\xi }_{N(k)}=x_{N(k)})$, де $N(k)=\{j|\{i,j\}\in E\}$.

Марковське випадкове поле з дискретним часом

У багатьох прикладних задачах у фізиці, економіці, біології, випадкове поле може описувати стан системи у деякий фіксований момент часу. Нехай $\xi =\{{\xi }^t:t=0,1,\dots \}$ — марковський процес з дискретним часом. Якщо задовільняється умова локальності:

$P\{{\xi }_k^{t+1}=x_k|{\xi }^t=x^t,\dots ,{\xi }^0=x^0\}=P\{{\xi }_k^{t+1}=x_k|{\xi }_{N(k)}^t=x_{N(k)}^t\}$, $\mathrm{\forall }k\in V,x^0,\dots ,x^{t+1}\in X$

І умова синхронності:

$P\{{\xi }_K^{t+1}=x_K|{\xi }^t=x^t\}=\prod _{k\in K}P\{{\xi }_k^{t+1}=x_k|{\xi }^t=x^t\}$, $\mathrm{\forall }K\subset V,x^t\in X$,

То такий процес разом із графом $G=(V,E)$ утворює Марковське випадкове поле із синхронними компонентами, що локально взаємодіють, або просто Марковське поле з дискретним часом.

Див. також

• Баєсова мережа
• Випадкове поле
• Шаблон:Нп

Джерела

• Шаблон:Гихман.Скороход.Введение в теорию случайных процессов
• Шаблон:Стаття